Определяне на граници на частично определена функция: абсолютна стойност

Функцията f(х) е равна на модул (абсолютна стойност) от |х – 3| върху (х – 3) и търсим границата на f от х, когато x клони към 3. И при проверка може да видиш, че функцията не е дефинирана, когато x е равно на 3, т.е получаваш 0/0: не е дефинирана. За да решим поставената задача, нека да преработим същата функция по друг начин. Нека да кажем, че f от х ще бъде равно на... За да решим поставената задача, ще разгледам два случая: Ще разгледам случая, когато x е по-голямо от 3, и когато x е по-малко от 3. За двата случая ще използвам два различни цвята. Когато x e... нека да е в зелено. Но това не е зелено. И така, когато x е по-голямо от 3... Когато x е по-голямо от 3, до какво се опростява функцията? Каквото и да избера за х тук, просто получавам положителна стойност и тогава... Ако взема абсолютната стойност, ще бъде точно същото нещо. Така че за x по-голямо от 3 това ще бъде точно същото нещо като х минус 3 върху х минус 3. Понеже ако x е по-голямо от 3, числителят ще бъде положителен. Като вземеш абсолютната стойност от това, то няма да промени стойността си. Следователно получаваш ето това тук или ако искаме да го запишем по друг начин, то това е равно на... за x > 3 ще се получи f(х) = 1. За x по-голямо от 3. По подобен начин, нека да помислим: какво се случва, когато х < 3. Когато х < 3, тотава х – 3 ще бъде отрицателно число. Когато намериш модул от него, всъщност неутрализираш това. Следователно ще се получи –(х – 3) върху (х – 3). За да опростим този израз, за всяка стойност на х, която е различна от 3, тази част ето тук се опростява до 1, така че остава –1. Минус 1, когато х < 3. Ако не вярваш на това, което току-що казах, насърчавам те да избереш други числа. Опитай с някакви числа: 3,1; 3,001; 3,5; 4; 7 За всяко число, което е по-голямо от 3, ще получиш 1. Ще получиш нещо, разделено на същото нещо. Като опитваш с числа по-малки от 3, ще получиш минус 1, без значение с какво опитваш. Нека да визуализираме тази функция. Чертаем някакви оси... Това е моята ос х, а после това е моята... Това е моята ос f от х, като у е равно на f от х. Това, което ни интересува, е, когато х е равно на 3. И така, х е равно на 1, 2, 3, 4, 5 и така нататък... Нека да кажем, че това е плюс 1, 2, а ето това е у = 1. Това е у = –1, на –2, и така нататък. Така записана, функцията не се променя, тя е абсолютно същата функция като тази, просто я записахме по различен начин. Това, което казваме, е, че нашата функция не е дефинирана в точката х = 3, но ако х е по-голямо от 3, то функцията е равна на 1. Ако х е по-голямо от 3, то функцията е равна на 1. Това изглежда като... Изглежда като ето това и не е дефинирана за х = 3. А ако х е по-малко от 3, то функцията е равна на –1, така че ще изглежда като... ще я начертая със същия цвят... ще изглежда като ето това... Изглежда като ето това. Като нещо такова. Още веднъж, не е дефинирана в точката х = 3, така че изглежда като нещо такова. Нека сега се опитаме да отговорим на въпроса: На какво е равна границата, когато х клони към 3? Нека да помислим за това на какво е равна границата, когато х клони към 3 от отрицателната посока, т.е. със стойности, по-малки от 3. Нека първо да помислим за границата, когато х клони към 3... х клони към 3, т.е. границата от f от х, когато х клони към 3 от отрицателната посока. Това показва означението, което написах тук – този минус като горен индекс точно след числото 3. Нека да помислим за границата, когато х се доближава до... Нека да го изясня... Нека да помислим за границата, когато се доближаваме към 3 от лявата страна. В този случай, ако се доближаваме... Доближаваме се... Ако започваме със стойности по-малки от 3, когато се приближаваме все повече и повече... Да кажем, че започваме от 0, f(х) е равно на –1. Стигаме до 1, f(х) е равно на –1. Стигаме до 2, f(х) е равно на –1. Ако стигнеш до 2,999999, то f(х) е равно на –1. Изглежда, че функцията клони към –1, когато се приближаваме... ...от лявата страна. Нека сега да помислим за границата... границата на f от х... ...границата на f(х), когато х клони към 3 от положителната посока, със стойности, по-големи от 3. Тук виждаме, че когато х = 5, f(х) е равно на 1. Когато х е равно на 4, f(х) е равно на 1. Когато х е равно на 3,0000001, то f(х) е равно на 1. Изглежда, че функцията клони към... Изглежда, че клони към плюс 1. Е, сега тук наблюдаваме нещо странно. Изглежда сякаш функцията клони към различна стойност, когато х клони от лявата страна, и когато клони от дясната страна. Ако функцията клони към две различни стойности, то границата не съществува. Следователно тази граница не съществува. Или друг начин да го заявиш: Границата... Границата от... Нека да запиша това с нов цвят – имам една малка идея тук. Границата на функцията f(х), когато х клони към някаква стойност с, е равна на L, ако и само ако границата на f(х), когато х клони към c от отрицателната посока, е равна на границата на f(х), когато х клони към c от положителната посока, и тази граница е равна на L. Това не е случаят в нашата задача. Границата, когато се приближаваме отляво, е –1, а границата, когато се приближаваме отдясно, е плюс 1. Т.е. не получаваме една и съща стойност, когато се приближаваме от двете страни. Следователно в такъв случай границата не съществува.