Граници на функции: въведение

Да разгледаме един пример, за да разберем какво представляват границите на функции. Започваме с функцията $f(x)=x+2$‍.

Границата на $f$‍ за $x=3$‍ е тази стойност, до която $f$‍ се доближава, когато аргументът става все по-близък до $x=3$‍. На графиката това е стойността на $y$‍, до която се доближаваме, когато проследим графиката на $f$‍ и се доближим все повече до точката, в която $x=3$‍.

Например, ако започнем от точката $(1;3)$‍ и се придвижим по графиката, докато доближим съвсем до $x=3$‍, то нашата стойност на $y$‍ (т.е. стойността на функцията) ще се доближи съвсем до числото $5$‍.

Аналогично като започнем от точката $(5;7)$‍ и се придвижим наляво, докато доближим съвсем близо до $x=3$‍, то стойността на $y$‍ отново ще се доближава съвсем близо до $5$‍.

Поради това казваме, че границата на функцията $f$‍ в $x=3$‍ е $5$‍.

Може да попиташ каква е разликата между границата на $f$‍ за $x=3$‍ и самата стойност на $f$‍ за $x=3$‍, т.е. $f(3)$‍.

В нашия случай границата на $f(x)=x+2$‍ при $x=3$‍ е равна на $f(3)$‍, но невинаги става така. За да го разбереш по-лесно, разгледай функцията $g$‍. Тази функция се различава от $f$‍ единствено по това, че е неопределена в точката $x=3$‍.

Също като при $f$‍, границата на $g$‍ при $x=3$‍ е $5$‍. Това е така, защото тук също можем да се приближим много близо до $x=3$‍ и стойностите на функцията ще се приближат много близо до $5$‍.

Значи границата на $g$‍ при $x=3$‍ е равна на $5$‍, но стойността на $g$‍ при $x=3$‍ е неопределена! Те не са едно и също!

В това е красотата на границите: те не зависят от стойностите на самата функция при границата. Те описват поведението на функцията, когато тя се доближава до граничната стойност.

Използваме специални обозначения за границите. Ето така записваме границата на $f$‍ за $x$‍, клонящо към $3$‍:

Знакът ${\displaystyle lim}$‍ означава, че търсим границата на нещо.

Изразът вдясно от ${\displaystyle lim}$‍ е изразът, чиято граница търсим. В нашия случай това е функцията $f$‍.

Изразът $x\to 3$‍ под ${\displaystyle lim}$‍ означава, че търсим границата на $f$‍, когато стойностите на $x$‍ клонят към $3$‍.

Какво имаме предвид под „безкрайно близко“? Да видим стойностите на $f(x)=x+2$‍, когато стойностите на $x$‍ се приближават много близо до $3$‍. (Не забравяй: тъй като се занимаваме с граници, не ни интересува самата стойност на $f(3)$‍ тук).

Виждаме, че когато стойностите на аргумента $x$‍, които са по-малки от $3$‍, се доближават до 3, стойностите на функцията $f$‍ стават все по-близки до $5$‍.

Виждаме също, че когато стойностите на $x$‍, които са по-големи от $3$‍, се доближават до него, $f$‍ става все по-близка до $5$‍.

Забележи, че се приближихме най-близо до $5$‍ при $f(\mathrm{2,999})=\mathrm{4,999}$‍ и $f(\mathrm{3,001})=\mathrm{5,001}$‍, които са на $\mathrm{0,001}$‍ единици от $5$‍.

Ако искаме, можем да се приближим и още повече. Например, ако искаме да сме на $\mathrm{0,000}01$‍ единици от $5$‍, ще изберем $x=\mathrm{3,000}01$‍ и тогава ще имаме $f(\mathrm{3,000}01)=\mathrm{5,000}01$‍.

Това може да продължава безкрайно. Винаги можем да се приближим още по-близо до $5$‍. Но всъщност точно това означава „безкрайно близко“! Тъй като в реалността не е възможно да отидем „безкрайно близко“, то чрез ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍ обозначаваме, че колкото и близо да сме до $5$‍, винаги има по-близка стойност на $x$‍ до $3$‍, която да ни отведе още по-близо.

Ако ти е трудно да разбереш това, може би следното сравнение ще помогне: откъде знаем, че броят на целите числа е безкраен? Не сме ги преброили всичките, за да стигнем до безкрайност. Ние знаем, че те са безкраен брой, защото за всяко цяло число винаги съществува по-голямо от него цяло число. След това винаги има още едно, и още едно...

При границите е подобно, но вместо за безкрайно големи числа, мислим за безкрайно близки числа до нещо. Чрез ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍ обозначаваме, че винаги можем да се приближим още по-близко до $5$‍.

Нека да анализираме ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2}$‍, което е границата на израза $x^2$‍, когато $x$‍ клони към $2$‍.

Виждаме, че колкото по-близо сме до точката $x=2$‍ на графиката, толкова стойностите на $y$‍ са по-близо до $4$‍.

Можем да разгледаме и таблица със стойности:

Виждаме също как можем да се доближим максимално близко до $4$‍. Да предположим, че искаме да сме на по-малко от $\mathrm{0,001}$‍ единици от $4$‍. Коя стойност на $x$‍, близка до $x=2$‍, можем да изберем?

Да опитаме с $x=\mathrm{2,001}$‍:

Това е на повече от $\mathrm{0,001}$‍ единици от $4$‍. Да опитаме с по-близка стойност, например с $x=\mathrm{2,000}1$‍:

Това вече е достатъчно близо! Като опитваме със стойности на $x$‍, които са все по-близки до $x=2$‍, можем да се приближим още повече до $4$‍.

В заключение ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4}$‍.

Като се върнем към $f(x)=x+2$‍ и ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$‍, виждаме как все повече се доближаваме до $5$‍, независимо дали стойностите на $x$‍се увеличават към $3$‍ (това означава да „клони отляво“) или намаляват към $3$‍ (това означава да „клони отдясно“).

Сега вземи за пример функцията $h$‍. Стойността на $y$‍, към която се доближаваме, когато стойностите на $x$‍ приближават $x=3$‍, зависи от това дали се приближаваме отляво или отдясно.

Когато приближаваме $x=3$‍ отляво, функцията доближава $4$‍. Когато приближаваме $x=3$‍ отдясно, функцията доближава $6$‍.

Когато една граница доближава различни стойности от двете страни, казваме, че тази граница не съществува.