Теорема за междинните стойности: преговор

Теоремата за междинните стойности описва едно ключово свойство на непрекъснатите функции: всяка функция $f$‍, която е непрекъсната в интервала $[a;b]$‍, приема в него всяка стойност между $f(a)$‍ и $f(b)$‍.

По-точно, това означава, че за всяко число $L$‍ между $f(a)$‍ и $f(b)$‍, съществува число $c$‍ в интервала $[a;b]$‍, такова че $f(c)=L$‍.

Смисълът на тази теорема става интуитивно ясен, когато си представим, че можем да чертаем графиките на непрекъснатите функции без да да повдигаме молива от хартията. Ако знаем, че графиката минава през точките $(a;f(a))$‍ и $(b;f(b))$‍...

тогава тя няма как да не премине през всяка стойност на $y$‍, намираща се между $f(a)$‍ и $f(b)$‍.

Разгледай непрекъснатата функция $f$‍, чиито стойности са дадени в следната таблица. Да намерим къде уравнението $f(x)=2$‍ със сигурност има решение.

Забележи, че $f(-1)=3$‍ и $f(0)=-1$‍. В интервала $[-1;0]$‍ функцията трябва да приема всяка стойност между $-1$‍ и $3$‍.

2 се намира между $-1$‍ and $3$‍, следователно трябва да има число $c$‍ в интервала $[-1;0]$‍, за което $f(c)=2$‍.