Определяне на граници на тригонометрични функции чрез тъждества за удвоен ъгъл

Да опитаме да намерим границата на 1 плюс корен от 2 по синус тита върху косинус от два пъти тита, когато тита клони към –π/4. Както винаги, опитай първо самостоятелно, преди да продължим заедно. Един начин на мислене е да го представим като границата когато тита клони към –π/4 на 1 плюс корен от 2 по синус от тита върху границата при тита, клонящо към –π/4; Обърни внимание на минуса, не го забравяй, на косинус от два пъти тита. Тези два израза определят функции: можем да начертаем у равно на 1 плюс корен от 2 по синус от тита или у равно на косинус от два пъти тита. Тези функции са непрекъснати, в частност за тита равно на –π/4. Затова можем да го заместим. Това ще е равно на стойността на този израз за –π/4, значи 1 + корен от 2 по синус от –π/4, върху косинус от 2 по –π/4. Сега да помислим за –π/4. Неговият синус е равен на минус корен от 2 върху 2, значи тук идва минус корен от 2 върху 2; сега мислим в радиани. Ако работехме с градуси, този ъгъл щеше да е –45 градуса, това е една от стойностите, която е добре да се помнят. Дотук получихме в числителя 1, всъщност, нека го препиша на чисто, тук имам 1 плюс корен от 2 по минус корен от 2 върху 2, което става –1, това е нашият числител. Всичко това се опрости до –1. Делено на косинус от –π/2, нали? Тук е –π/2, търся неговия косинус и ако мисля в градуси този ъгъл ще е –90 градуса; косинус от това е нула. Накрая получихме нула върху нула. Както казахме и преди, ако имахме ненулево число върху нула, то щеше да е недефинирано. Тогава щяхме да се откажем, но тук имаме тази неопределена форма и тя не значи, че границата не съществува. Тя обикновено показва да използваме някои инструменти от наученото досега, за да преобразуваме израза и да получим такъв, който вече има стойност или е недефиниран. Но който няма да е неопределената форма при тита, равно на –π/4. В бъдеще ще учим още такива инструменти. Нека преобразуваме израза първо алгебрично. Тъй като имам 1 + корен от 2 по синус от тита върху косинус от 2 тита, в този случай може да са ни от полза тригонометричните тъждества и по-точно, интересно изглежда косинус от 2 пъти тита. Сега ще разпиша някои тригонометрични тъждества за косинус от 2 тита. Ще ги запиша тук. Знаем, че косинус от 2 пъти тита е равно на косинус на квадрат от тита минус синус на квадрат от тита, което от своя страна е 1 минус 2 синус квадрат от тита, което е равно на 2 по косинус квадрат от тита минус 1. Те се извеждат едно от друго чрез основното тригонометрично тъждество (питагоровата теорема). Доказвали сме го в предишни видеоуроци по тригонометрия от Кан Академия. Сега да видим, полезно ли ни е някое от тях? Тези три израза са все разлика от квадрати, затова ще можем да ги разложим по интересни начини, но помни нашата цел: да премахнем множителите, които водят до нула върху нула. Ако мога да разложа това до нещо, в което има 1 + корен от 2 по синус от тита, ще мога да продължа. Изглежда, че този израз тук може да се разложи до 1 + корен от 2 по синус от тита по 1 минус корен от 2 по синус от тита, затова избирам него. Замествам косинус от 2 пъти тита с неговото тъждествено равно 1 – 2 по синус квадрат от тита, което е разлика от квадрати. Мога да го представя като А на квадрат минус В на квадрат, което е (А + В) по (А – В), затова директно замествам с 1 плюс корен от 2 по синус от тита по 1 минус корен от 2 по синус от тита. Сега ясно се вижда потенциалното унищожаване, можем да зачеркнем тези два множителя и да кажем, че целият израз е равен на, ще го откроя с друг цвят, ще е равно на това, в числителя остана само 1, а в знаменателя имаме множителя 1 минус корен от 2 по синус от тита. За да бъдат тези изрази наистина равносилни, то трябва да сме сигурни, че имат еднакви, погледнати като определения на функции, дефиниционни множества. Този израз тук, както вече видяхме, не е определен за тита равно на –π/4, значи и другият израз, за да бъдат равносилни, трябва също да не е. Всъщност не са определени и за други стойности, но нека уточним само, че тита не е равно на –π/4, защото тук мислим само за някакъв отворен интервал около –π/4, и не е нужно да уточняваме за други възможни стойности в този конкретен случай. Просто тук ни интересува какво се случва с израза в един отворен интервал в околностите на тита, да кажем между –1 и 1, а тук това ограничение е достатъчно, защото , ако имаме –π/4, тук няма да получим 0 / 0, а тук –π/4 ще направи знаменателя 0, но също така π/4 ще направи и този знаменател да е равен на нула, защото ще получим 1 – 1. Затова според мен е добре, че сме ограничени в този отворен интервал, защото взимаме границата, когато доближаваме число от този отворен интервал и съм допълнително прецизен като ти го обяснявам, а е важно да сме точни, но ако решаваш такава задача на тест, разбира се, че няма да си създаваш толкова усложнения и да слагаш всички тези условия. Е, вече разбрахме, че този израз е равен на това. Сега да помислим за границата, когато тита клони към –π/4 на този израз без ограничението. Границата на 1 върху 1 минус корен от 2 по синус от тита. Когато работим в този отворен интервал, дори и да не вземем предвид тази стойност на тита, то този израз е определен и е непрекъснат за тита, равно на –π/4, затова този израз е равен на 1 върху 1 минус корен от 2 по синус от –π/4. Синус от –π/4, както вече видяхме, е равен на минус корен от 2 върху 2. Значи това е равно на 1 върху 1 минус корен от 2 по минус корен от 2 върху 2, минус по минус е плюс, а корен от 2 по корен от 2 е 2, върху 2 става 1. Значи целият израз е равен на 1/2. И така, искам да съм много ясен. Този израз не е същото като този израз. Двата израза са равни за всички стойности на тита, особено когато сме в този отворен интервал, освен за тита, равно на –π/4. Тогава този израз не е дефиниран, а този е дефиниран, но както видяхме преди, ако намерим функция, която е равна на първоначалната, или израз, равен на първоначалния израз за всички стойности на тита, освен за тази, за която първоначалният не е определен в дадена точка, но новият израз е определен и непрекъснат в нея, то техните две граници ще са равни помежду си, затова, щом тази граница е 1/2, то и тази граница ще е 1/2. Показах това и в предишни видеоуроци. Може да е изкушаващо само да опростим това, за да получим това, без да се притесняваме за ограниченията, и после просто да заместим с –π/4. Така ще получим отговор и той ще е правилен, но е много важно да отбележим, че този израз и този израз не са съвсем еднакви. Това, което ни позволява да действаме така, е фактът, че когато имаме две функции, да кажем функциите f и g, и те са равни, ще го запиша така, двете функции са равни за всички х, освен за х = а, ще го запиша тук, за всички х, освен за х = а, тогава границите им... ще го запиша: функциите са равни за всички х, освен х=а, и f е непрекъсната за х=а, тогава границата на f(x) за х, клонящо към а, е равна на границата на g(x) за х, клонящо към а. Изведох това в предишните уроци, а тук го използвахме, но го повтарям, за да разбереш правилно защо отговорът е 1/2.