Решен пример: точка, в която функцията е непрекъсната

Функцията g(x) е дефинирана като log 3x, когато х е в интервала (0;3) и като (4 – х) * log 9, когато х е по-голямо или равно на 3. Като имаме това определение за g(x) искаме да намерим границата на g(x) за х, клонящо към 3: тази стойност е точно на прехода между двата случая, дадени в определението. Имаме първия случай, когато х е между 0 и 3: когато е по-голямо от 0 и по-малко от 3, а когато стане равно на 3 отиваме в другия случай. За да намерим границата, трябва да потърсим лявата граница на функцията, при която попадаме в първия случай, защото там х е по-малко от 3, а също и да намерим дясната граница, която ще ни постави във втория случай. Ако и двете едностранни граници съществуват, и освен това ако са равни, то това ще е търсената граница. Ще започна с лявата граница. Търсим границата на g(x), когато х доближава 3 откъм стойностите, по-малки от 3. Това е същото, като да кажем, че това е границата за х, клонящо към 3 от отрицателната посока. Когато х е по-малко от 3, какъвто е случаят тук, ние се доближаваме до 3 отляво и се намираме в първия случай на дефиницията. Значи ще извършим това действие. Така ще намерим стойност на функцията за х<3. Имаме логаритъм от 3х. Тъй като функцията е дефинирана и непрекъсната за нужния ни интервал: дефиницията ѝ е непрекъсната за всички х, по-големи от 0; то просто можем да заместим х с 3, за да видим границата. Това е равно на log от 3 по 3, което е логаритъм от 9. Тъй като не е уточнена основата на логаритъма, то се предполага, че той е десетичен. Значи основата му е 10. Това е добре да се знае, защото понякога се пропуска. И така, да помислим и за другия случай. Да разгледаме ситуацията, при която се доближаваме до 3 отдясно, откъм по-големите от 3 числа. Тук вече ще сме във втория случай. Дясната граница ще е равна на границата при х, клонящо към 3 от положителната посока или отдясно на g(x) в този му случай за х>=3: значи на 4 – х по логаритъм от 9. Това изглежда като логаритмичен израз на пръв поглед, докато осъзнаеш, че log9 е просто константа, десетичен логаритъм от 9. Тя ще е някакво число, доста близко до 1. Този израз всъщност може да се начертае като права. В случая за х>=3, g(x) e просто една права линия, която изглежда сложно. Това всъщност е определено за всички реални числа, а също е и непрекъснато за всяка стойност на х. За да намерим тази граница, нека помислим към какво се доближава този израз, когато х клони към 3 от положителната посока. Можем просто да заместим директно с х=3. Това ще е равно на 4 – 3, или 1, по логаритъм от 9. Това е равно на десетичния логаритъм от 9. Получихме, че лявата и дясната граници са равни. И двете са равни на log 9, значи отговорът е логаритъм от 9. И сме готови.