Граници на комбинации от функции

Нека да намерим границата на f от х, умножено по h от х, когато х клони към 0. Имаме графичните изображения на функциите у = f(х) и у = h(х). От свойствата на границите знаем, че границата за този израз ще бъде равна на границата на f(х), когато х клони към 0, умножено по границата на h(х), когато х клони към 0. Нека да помислим на какво е равна всяка от тези граници. Нека да разгледаме f от х ето тук. Търсим границата на f от х, когато х клони към 0. Забелязваме, че функцията не е дефинирана в тази точка, но виждаме, че когато се приближаваме отляво, то функцията изглежда, че клони към стойността –1 ето тук. Когато се приближаваме отдясно, функцията изглежда, че клони към стойността минус 1. Следователно тази граница е равна на –1. Когато се приближаваме към 0 отляво, функцията клони към –1. Когато се приближаваме към 0 отдясно, функцията клони към –1. А какво се получава за функцията h от х? Графиката ѝ е ето тук долу. Дадено е, че х клони към 0. х клони към 0. Функцията е дефинирана в точката х равно на 0. Изглежда, че там стойността ѝ е равна на 1. И границата също е равно на 1. Виждаме, че когато се приближаваме отляво, то функцията клони към 1. Когато се приближаваме отдясно, функцията клони към 1. Когато се приближаваме към х равно на 0 отляво, функцията клони към 1. Когато се приближаваме към х = 0 отдясно, функцията клони към 1. Има смисъл функцията да е дефинирана тук, т.е. в точката х равно на 0. Границата на функцията, когато х клони към 0, е равна на същата стойност, която функцията има в тази точка, защото това е непрекъсната функция. Ето тази граница е равна на 1. Тогава –1 по 1 ще бъде равно на –1. Следователно границата от произведението на функциите е равна на –1. Нека да решим още една такава задача. Добре! Тези двете функции изглеждат като непрекъснати. Търсим границата на h(x) върху g(x), когато х клони към 0. Отново ще използваме свойствата на границите. Тази граница ще бъде равна на същото нещо като границата на h от х, когато х клони към 0, върху границата на g от х, когато х клони към 0. На какво е равна границата на h от х, когато х клони към 0? Нека да видим. Приближаваме се към 0 отляво. Когато х се приближава към 0 отляво, изглежда, че функцията h от х клони към 4. Когато х се приближава към 0 отдясно, изглежда, че функцията h от х клони към 4. 4 е също и стойността на функцията в точката х = 0. Това има смисъл, защото функцията h(х) е непрекъсната. Следователно границата, когато х клони към 0, следва да бъде равна на същата стойност като тази, която функцията има в точката х = 0. Тогава, числителят ще бъде равен на 4. Нека сега да разгледаме границата на g от х, когато х клони към 0. Изглежда, че когато х клони към 0 отляво, стойността на функцията клони към 0. А когато х клони към 0 отдясно, стойността на функцията отново клони към 0. Получава се също така, че стойността на функцията g(0) също е равна на 0. Отново това е логично. Границата на функцията и стойността на функцията в същата точка са равни, защото функцията g(х) е непрекъсната. Следователно в знаменателя също се получава 0. Сега обаче се намираме в странна ситуация. Трябва да вземем стойността 4 и да я разделим на 0. Следователно тази граница няма да съществува, защото не може да вземем 4 и да го разделим на 0. Дори и границата на h от х, когато х клони към 0, да съществува, и границата на g от х, когато х клони към 0, да съществува, не може да разделим 4 на 0. Следователно границата на тази комбинация от функции не съществува. "Не съществува." Ако действително изобразиш h от х върху g от х, т.е. да начертаем тази графика, щеше да забележиш дори още по-ясно, че тази граница не съществува. Щеше да можеш да го видиш графично.