Графично представяне на връзката между f, f' и f''

Имаме изобразени графиките на три функции и това, което знаем за тях, е, че едната е f, другата е първата производна на f, а третата е втората производна на f. Целта ни е да разберем коя графика коя е. Коя е f, коя е първата ѝ производна, и коя втората? Както обикновено, постави видеото на пауза и провери дали можеш да откриеш отговора самостоятелно, преди да го направим заедно. Нека сега да го направим заедно. Подходът, който ще използвам, е да се опитам да скицирам това, което мога, за производните, или функциите, на всяка от тези графики. На първата графика в оранжев цвят можем де видим, че наклонът (ъгловият коефициент) е положителен, но след това започва да става по-малко и по-малко положителен, докато не достигне тази точка и стане 0. След това става все повече и повече отрицателен. Производната на тази крива тук или на функцията, представена чрез нея, започва относително положително ето тук. В тази точка производната ще премине през нулата, защото производната там е 0, т.е. наклонът на допирателната. Тогава ще става все повече и повече отрицателна. Поне в интервала, който виждаме. Би могла да изглежда по този начин. Не знам дали е линия или не. Може да е някакъв вид крива. Определено ще има такова направление. Сега бихме могли незабавно да заявим, че синята графика не е производна на оранжевата графика. Направлението ѝ е противоположно. В рамките на този интервал се променя от отрицателна към положителна, обратното на положителна към отрицателна. Можем да изключим синята графика като производна на оранжевата. А какво да кажем за лилавата графика? Изглежда сякаш има правилното направление. В действителност тя пресича остa x на правилното място ето тук. И поне в рамките на този интервал изглежда, че е положителна от тук до тук. Положителна е. Тази графика е положителна, когато наклонът на допирателната тук е положителен. А тази графика е отрицателна, когато наклонът на допирателната тук е отрицателен. Нещото, което може да представлява пречка да заявим, че последната графика е производна на първата, е, че не разглеждаме положения, при които производната има повече екстремни точки, т.е. минимуми и максимуми, отколкото първоначалната функция. В случая може да бъде, защото не виждаме цялата първоначална функция. Например ако последната графика е наистина производна на първата графика, тогава това, което виждаме, е, че производната е отрицателна ето тук, но тогава, около тази точка започва да става по-малко отрицателна. Така че, ако тази точка отговаря приблизително на това място тук, тогава наклонът ще бъде все по-малко и по-малко отрицателен. Тогава в тази точка наклонът ще стане 0, което ще бъде приблизително тук. Например графиката би могла да изглежда по следния начин, но просто не я виждаме. Произлиза от частта от графиката, която показахме. Смятам, че третата функция е добър кандидат за производна на първата функция Може да заявим, че тази е f, а тази е производната ѝ f'. Нека да погледнем втората графика. Как би изглеждала производната ѝ? Тук наклонът е силно отрицателен и става все по-малко и по-малко отрицателен, докато не достигне до тук, където става 0. Така че производната ще пресече оста x ето тук. Ще започне с отрицателни стойности и ще става все по-малко и по-малко отрицателна. В тази точка пресича оста x и става все повече и повече положителна. Ето тук виждаме, че производната става все повече и повече положителна. Но около това място тук изглежда, че отново става по-малко положителна. Така че би могла да изглежда ето така, където на това място отново става по-малко положителна. По-малко и по-малко положителна. В тази точка производната ще бъде 0. Производната ще пресече оста x там. Изглежда, че наклонът намалява и става все повече и повече отрицателен, така че производната също става все повече и повече отрицателна. Това, което много грубо скицирах току-що, изглежда много повече като оранжевата графика ето тук. Тоест оранжевата графика изглежда действително като производна на синята. Това, което бих казал, е, че това всъщност е функцията f, а това ще бъде f'. Тогава ако това е f' производната ѝ ще бъде f''. Това решение изглежда добре. Смятам, че това е отговорът. За всеки случай, ако искаш, опитай се да скицираш как ще изглежда производната на тази графика. Нека да го направим. Ето тук производната на тази функция, т.е. наклонът на допирателната, е положителен, но намалява все повече и повече. Ето тук достига до 0. Производната ще изглежда приблизително така в рамките на интервала. Наклонът на допирателната намалява и става все повече и повече отрицателен, докато не достигне до тази точка. Намалява все повече и повече докато не достигне до тази точка. Сега изглежда, че нараства и става все по-малко и по-малко отрицателен, докато производната не стане отново 0. След това изглежда, че нараства и става все повече и повече положителен. Производната на лилавата крива изглежда като парабола, отворена отгоре. И не виждаме ето това тук, така че може да сме спокойни, че производната ѝ не е изобразена. С увереност бих нарекъл средната графика f, лявата f', а дясната f'', т.е. втората производна.