Изразяване на допирателна към хипербола

След като преминах през много от задачите за приемните изпити на Индийския технологичен институт (IIT JEE), осъзнах колко задачи очакват просто да знаеш нещо. Затова в това видео ще обясня едно от нещата, които се очаква просто да знаеш. Ще намерим зависимостта между конично сечение, в нашия случай то ще е хипербола, и допирателната към него права. В предишна задача направихме това, но за конкретен случай, а сега ще обобщим. Да вземем хипербола, отворена отляво и отдясно. Нейното уравнение е х^2/а^2 – у^2/b^2 = 1. Да начертая хиперболата. Това е оста Х. А това е оста Y. Чертая десния клон на хиперболата. Долната половина не е съвсем добре, начертавам я отново. Ето и левия клон. Ако се чудиш за тази точка тук, тя е при у = 0. Точката е с координати (а; 0). А другата точка тук е (–а; 0). Искам да открия зависимостта между коефициентите а и b и уравнението на допирателната. Да изберем една допирателна и да я начертаем. Нека тя се допира до хиперболата само в тази точка. Допирателната изглежда така. И нека това е уравнението на тази права: у = mх, където m е наклонът на правата, плюс... Обикновено бихме отбелязали константата с b, но тази буква е вече използвана в уравнението на хиперболата. Затова ще използвам буквата c. Тук точката на пресичане на правата и Оу е (0; с) и добавяме с към уравнението на правата. Нека намерим зависимостта между m и с от една страна, и a и b от друга. Вече я използвахме в една от задачите за IIT. Предполагам, че и в следващата такава задача ще се използва. Както личи от повечето видеа на Кан Академията, винаги предпочитам да извеждам доказателства от основни принципи, защото в живота не можем просто да запомняме формули. Няма да знаем как са получени. Може да ги запомним грешно. Няма да разбираме значението им. Но ако ще полагаш изпита IIT JEE, разбирам колко малко време ще имаш за тези задачи. И ако трябва да извеждаш формулите на място, то няма да успееш да ги решиш. Затова нека изведем зависимостта. Да премина към чертежа. Да видим къде се пресичат двете графики. Използваме това, че те се пресичат само в една точка. Ще реша уравнението на хиперболата за у^2. Можем да умножим двете му страни по –b^2. Получаваме –b^2/а^2 по х^2 плюс у^2 = –b^2. Да добавим това към двете страни на уравнението. Имаме у^2 = (b^2/а^2)х^2 – b^2. Просто видоизмених уравнението на хиперболата. Да преработим и другото уравнение за у^2. Тогава ще можем да ги приравним. В жълто имам уравнението на допирателната. Като повдигна двете страни на квадрат, получавам у^2 = m^2х^2 + 2 по произведението на двата члена, значи 2 по mcx, плюс с^2. За да се пресичат двете им графики, то трябва да има стойност на х, за която двете имат равни у. Значи можем да приравним у^2 от двете уравнения и да намерим х от полученото уравнение. Очевидно няма да можем да намерим конкретно х, защото има твърде много променливи. Можем да намерим такава зависимост между тези a и b и тези m и c, че да има единствена обща точка, която по определение е точката на допиране. Да го направим. Имаме m^2 по х^2 + 2 mcx + с^2 равно на b^2/а^2 по х^2 – b^2. Решихме много подобно упражнение в предишно видео за IIT JEE. Но тук искам да разгледам най-общия случай, за да го имаме като готово решение. Да преработим това като квадратно уравнение за х. Преместваме всичко отляво и имаме m^2 – b^2/а^2 по х^2. Изнесохме го извън скоби. Това са тези два члена. После имам единствения член с х на първа степен. Значи, плюс 2mcx. накрая остава с^2, и пренесеното отляво плюс b^2. Записвам свободния член, + c^2 + b^2. От лявата страна остава 0. Трябва да имаме само едно решение на това квадратно уравнение, затова да видим неговата дискриминанта. В общия случай корените са минус b плюс или минус квадрата от дискриминантата (тя е b^2 – 4ac) върху 2ас, използвам стандартни обозначения. Ще имаме точно един корен, ако дискриминантата под корена е 0. Ако числото под корена е нула, тогава и с плюс и с минус него корените ще са еднакви. В нашата ситуация за допирателната права можем да имаме само една допирна точка, едно решение х, което изпълнява уравнението. От общата формула на дискриминантата имаме b^2 – 4ас = 0. Но това са различни означения от нашите, различни а, b и с. b е коефициентът пред х на първа, който е 2mc. Заместваме го в уравнението: 4m^2 по с^2. От него ще извадим 4 по а, което тук е.. а тук е коефициентът пред х^2... за да опростя, да направя това плюс, и после да умножа с отрицателен знак, тоест да разменя двата члена. Значи, слагам плюс пред 4, тъй като искам да умножа по –1, и разменям: b^2/а^2 – m^2. Накрая остава това с, което е свободният член c^2 плюс b^2. За да бъде допирателна тази права, това ще е равно на 0 при точно едно решение. Да опростим уравнението. Разделяме двете страни на 4. И уравнението става така: този множител става 1 и можем да го премахнем, също махаме и тази четворка. Това доста опрости уравнението ни. Нека разкрием скобите. Имаме b^2/а^2 по с^2. Това е (bс/а)^2. После b^2 върху а^2 по b^2, или b^4/а^2. Изваждаме m^2с^2. Пиша го в друг цвят. Имаме – m^2с^2. Накрая имаме –m^2b^2. Разбира се, всичко е равно на 0. И да не забравим това m^2с^2 отпред. За късмет, то се съкращава с това. Какво остана? Сега всеки член тук се дели на b^2. Нека разделим уравнението на b^2. На негово място ще дойде 1. Това ще стане b^2. И това тук ще стане също 1. Да умножим всичко по а^2, за да се отървем от дробите. Като умножим всичко по а^2, първият член става с^2. Вторият остава само b^2. И остава само това –m^2. Не забравяй, умножаваме по а^2. Това става –а^2m^2 = 0. Можем и да преместим това отдясно. Получаваме c^2 + b^2 = а^2m^2. Хубавото на това е, че зависимостта е много проста. Ако имаме дадено уравнението на допирателна, то ще знаем колко са m и c. Тогава ще имаме интересна зависимост между а и b. Aко пък знаем колко са а и b, ще получим интересна зависимост за уравнението на правата. И може би ще успеем да ги решим, ако имаме допълнителни условия. които да използваме в следващата задача от IIT.