Изследване на функция чрез нейната производна

Имаме функцията f(х) = х^3 - 12х + 2. И в това видео искам да помисля при каква точка функцията ми f приема минимални или максимални стойности. За да намеря това, първо трябва да намеря критичните точки за функцията ми f. И после при кои от тези критични точки постигаме максимална или минимална стойност. За да определим критичните точки, трябва да намерим производната на нашата функция, понеже критичните ни точки са просто точката, при която производната ни е или равна на 0, или не е зададена. Производното на това нещо тук, просто ще използваме едно от свойствата на степените няколко пъти, а после, предполагам можеш да го наречеш правилото за константата... Но производната на х^3 е 3х^2. Производната на -12х е -12. И производната на константа – не се променя по отношение на х – просто ще е равно на 0. Така че ще получим критична точка, когато това нещо тук, за някаква стойност на х, е или 0, или не е зададено. Това тук е зададено за всички стойности на х. Така че единствените места, където ще намерим критични точки, е когато това нещо е равно на 0. Нека го поставим да е равно на 0. Кога 3х^2 - 12 = 0? Нека добавим 12 към двете страни. Получаваш 3х^2 = 12. Делим двете страни на 3. Получаваш х^2 = 4. Това ще се случи, когато х = 2 и когато х = -2. Да поясня... f'(2), получаваш 3*4 - 12, което е равно на 0. И f'(-2) е също – по същата причина – също е равно на 0. Можем да кажем – и ще сменя цветовете – че f има критични точки при х = 2 и при х = -2. Добре. Но все още не знаем дали функцията приема минимални стойности при тези точки, максимални стойности при тези точки или нито едно от двете. За да намерим това, трябва да открием дали производната променя знаците си около тези точки. Нека опитаме да начертаем графика на производната и да помислим върху това. Нека начертаем графика. Ще начертая една ос ето тук. Ще я направя тук долу, понеже може би можем да използваме тази информация по-късно, за да начертаем графика на f(х). Да кажем, че това е моята ос х. Това е моята ос у. И имаме критични точки при х = +2. Това са 1, 2... И х = -2...1, 2. х = -2. Как изглежда производната, ако искахме да начертаем графиката ѝ? Когато х = 0, за производната, ние сме при -12. Това е точката у = -12. Чертаем графика на у = f'(х). Изглежда ето така. Това очевидно са нулите на нашата производна. Така че трябва да се премести нагоре, за да пресече оста х тук и ето тук. Какво прави производната при всяка от тези критични точки? Тук производната ни пресича от положителни стойности, имаме положителна производна, до отрицателни – отрицателна производна. Пресичаме от положителна производна към отрицателна производна, това бяха критериите ни, за да бъде една критична точка максимална точка. Ето тук преминаваме от отрицателна производна към положителна производна, което е критерият ни, за да бъде една критична точка – за функцията да има минимална стойност при една критична точка. Минимална стойност. Исках да се уверя, че мислим логично. Ако една функция се увеличава към някаква точка и при тази точка имаме производна 0 – производната може също да не е зададена – но имаме производна 0 и после функцията започне да намалява, това е причината това да е максимална точка. Подобно, ако имаме ситуация, при която функцията намалява към една точка, производната е отрицателно. Помни, това е графиката на производната. Нека поясня. Това е графиката на у равно не на f(х), а на f'(х). Ако имаме ситуация, при която отиваме към точката, функцията има отрицателен ъглов коефициент, виждаме, че тук имаме отрицателен ъглов коефициент – функцията може да изглежда ето така. И после точно при тази точка функцията или не е зададена, или има ъглов коефициент 0. В този случай има ъглов коефициент 0. И после, след тази точка, нека направя това точно отдолу. Това отива насам и имаме отрицателен ъглов коефициент. И после ето тук имаме ъглов коефициент 0. Което мога да начертая дори по-добре от това. Ако си представим, че отиваме насам, имаме отрицателен ъглов коефициент, точно при тази точка имаме ъглов коефициент 0, а после имаме положителен ъглов коефициент. Тоест функцията започва да се увеличава. Ето защо казваме, че тук имаме минимална точка. Това, което направих тук, е да опитам да концептуализирам как ще изглежда самата функция, при дадена производната, в този случай при променяне от положителна производна към отрицателна производна през тази критична точка или преминаване от отрицателна производна към положителна производна. Ето защо това е критерият за максимална точка, а това е критерият за минимална точка. Като изяснихме това, можем ли да използваме тези разсъждения, за които говорихме току-що, за да опитаме да скицираме графиката на f(х)? Нека опитаме да направим това. И това просто ще е скициране, а няма да е много точно. Но поне ще ни даде представа за формата на f(х). Това е най-добрият ми опит. Може да се е начертано напълно в мащаб. Това е оста х, това е оста у. Знаем, че имаме критична точка при х = +2. И имаме критична точка при х = -2. Знаем от наблюдения, че пресечната точка с оста у (Оу) ето тук, ако графиката на у е равна на f(х), когато х е 0, f(х) е 2. Така че ще стигнем ето тук – не искам да чертая това напълно в същия мащаб като оста х. Да кажем, че това тук е 2. Ще пресечем тази точка. Това ще е пресечната ни точка с оста у. И казахме, че имаме максимална точка при х = -2. Колко е f(-2)? f(-2) = 8 или -8, нека внимавам. Това е -8. И после ще имаме 12*(-2), което е -24. Но ще съберем това. Изваждаме -24. Тоест, това е +24. И накрая имаме +2. Тоест -8 + 24 + 2, като това ще е, да видим, -8 + 24 е 16, + 2 е 18. Тоест f(-2) = 18. Не чертая напълно в мащаб. Но да кажем, че това тук е 18. Това е функцията. Това е точката (-2; 18). И знаем, че е максимална точка. Производната, стигаща до тази точка, е отрицателна. Производната, стигаща до тази точка, е отрицателна – извинявай, производната, стигаща до тази точка, е положителна. Тоест увеличаваме. Ъгловият коефициент е положителен. И после, след като пресечем тази точка, ъгловият коефициент става отрицателен. Производната пресича оста х, ъгловият коефициент става отрицателен. Искам да използвам същия цвят. Изглежда ето така. После, разбира се, графиката ще пресече – ще има пресечна точка с оста у, нещо подобно. И после, докато доближаваме 2, доближаваме друга критична точка. Колко е f(2)? f(2) ще е равно на +8 - 24 + 2. Това е 10 - 24, което е равно на -14. Да кажем, че това ето тук е точката -14. Всъщност мога да го начертая малко по-добре. Да кажем, че това е -14. Това тук е f(2). И вече видяхме, че ъгловият коефициент е отрицателен, докато я доближаваме. Функцията ни намалява, докато я доближаваме. И после, ето тук, ъгловият коефициент е 0. Намерихме това по-рано, така идентифицирахме, че това е критична точка. И след това ъгловият коефициент се увеличава, производната е положителна. Ъгловият коефициент се увеличава. Това е скицата ни на f(х), при положение, че това са критичните точки. И успяхме да намерим, че минималната точка е 2. Това беше минимална стойност. Функцията приема минимална стойност, когато х = 2. И функцията приема максимална стойност, когато х = -2.