Еднаквост и подобност – основен пример

На чертежа, даден вляво, който съм начертал ето тук горе, отсечката AD пресича BE. Отсечката AB е успоредна на DE. Каква е дължината на страната CE? Търсим дължината на тази страна. Искам да намерим дължината на страната CE. Може и веднага да се досетиш, поне на пръв поглед изглежда, че този малък триъгълник вляво, е подобен на този по-голям триъгълник вдясно. Нека обаче да се уверим. Нека да го докажем. За да си помогнем в тази задача, ще си припомним, че страните AB и DE са успоредни. За да стане още по-ясно, ще удължа тези отсечки малко повече. Така действително е по-лесно да видиш, че това са успоредни прави, и са пресечени от трансверзала. Тоест имаме две трансверзали, които пресичат тази успоредни прави. Добре, след като искам да удължа тази права, нека да е и в двете направления. Дадено е, че тези две прави са успоредни. Тази е успоредна на тази. Това ще ни помогне да докажем, че тези два триъгълника са подобни. Първото нещо, което имаме е следното. Този ъгъл и този ъгъл са връхни. Следователно са равни. Този ъгъл ето тук, ако разглеждаш BE като трансверзала на две успоредни линии, този ъгъл тук ще бъде вътрешен ъгъл за триъгълника. Получава се, че е кръстен ъгъл на ето този ъгъл тук. Това са вътрешни кръстни ъгли и следователно са равни. Ако някои от тези понятия ти звучат като на китайски, а ти не си запознат с китайския, насърчавам те да изгледаш уроците в Кан Академия за ъгли, трансверзали и успоредни прави. Аналогично, ако разглеждаме AD като трансверзала, то този ъгъл тук - нека го направя с различен цвят - този ъгъл тук, е кръстен вътрешен ъгъл на ето този ъгъл. Следователно са равни. Целта на всичко, което направих дотук, е да покажа, че тези три ъгъла са равни на тези три ъгъла. Следователно триъгълниците са подобни. Причината това да е необходимо, е следната: ако тези два триъгълника са подобни, то тогава отношението между съответните им страни ще бъде едно и също. Нека да вземем отношението CE, т.е. отношението на CE - или дължината на страната CE - към ето тази страна например, т.е. към страната DE. DE има дължина 7,5. Това отношение ще бъде равно на отношението между съответните страни от другия триъгълник. CE лежи срещу този зелен ъгъл. Ако разгледаме подобния триъгълник, то срещулежащата страна спрямо зеления ъгъл, е ето тази страна BC. Следователно отношението ще бъде равно на съответната страна, т.е. 2,1, от другия триъгълник, към съответна страна на DE в другия триъгълник. Тази страна лежи срещу синия ъгъл, т.е. ето този от двата връхни ъгъла тук. Следователно съответната страна в другия триъгълник ще бъде страната AB. Тогава, в знаменател се получава 2,5. Тогава на какво ще бъде равно CE? Има много начини да решим това уравнение. Един от тях е просто да умножим двете му страни по 7,5. Умножаваме двете му страни по 7,5. На какво е равно 7,5, разделено на 2,5? 75, разделено на 25 е равно на 3. Следователно 7,5, разделено на 2,5 е равно на 3. Следователно, ще се получи 3. Дължината на страната CE е равна на 2,1 по 3. Тогава на какво е равна отсечката CE? Какво се получава? 6,3 И ако погледнем тук долу, виждаме, че това действително е един от възможните отговори.