Явни и рекурентни формули за задаване на геометрични прогресии

Дадена ни е таблица, която съдържа множеството n, където n е равно на 1, 2, 3, 4 и са дадени съответните стойности на g от n. Един от начините да я разглеждаме е, че тази функция g определя редица, в която n е номерът на член от редицата. Или това е същото като редица, в която първият член е 168, вторият член е 84, третият член е 42, а четвъртият член е 21, като тя продължава още, и още, и още нататък. Сега да помислим какъв тип редица е това. Ако приемем, че тя започва от 168, как ще отидем от 168 до 84? Един от начините е да извадим 84, а друг начин е да умножим по 1/2. Умножаваме по 1/2. И след това, за да отидем от 84 до 42, умножаваме отново по 1/2. И за да отидем от 42 до 21, умножаваме отново по 1/2. Така че това тук е геометрична прогресия. Започваме от даден член и всеки следващ член е предходният член, умножен по 1/2, или както често това се нарича – по общото частно на прогресията. Как можем да напишем g от n, как можем да зададем прогресията явно по отношение на n? Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да помислиш как да го направиш. И така, ако кажа, че g от n е равно на... нека опитаме да опишем функцията, която току-що видяхме тук, като започнем от 168, и след това умножаваме по 1/2 всеки път, когато добавяме нов член. Добре, един от начините е да започнем от 168 и след това да умножим по 1/2, ще умножаваме по 1/2 определен брой пъти. Можем да гледаме на степенния показател като на брой пъти, брой умножавания по 1/2. Колко пъти ще умножим по 1/2? Първия член умножаваме по 1/2 нула пъти. Втория член умножаваме един път по 1/2. Третия член умножаваме два пъти по 1/2. Четвъртия член умножаваме три пъти по 1/2. Изглежда че независимо на кой член се намираме, ние умножаваме по 1/2 толкова пъти, колкото е номерът на члена минус 1. Можеш да провериш, че това е така. Ако n е равно на 1, ще имаш 1 минус 1, което ще бъде просто 0. 1/2 на степен 0 е просто 1. Така че ще получиш 168. Ако n е 2, 2 минус 1, ще умножиш по 1/2 един път, ето тук n е 3, ще умножиш два пъти по 1/2, защото 3 минус 1 е 2. Ще умножиш два пъти по 1/2, като ти го виждаш ето тук. Така че това изглежда като едно наистина хубаво явно задаване на определението за тази геометрична прогресия. Можеш да го разглеждаш и по други начини, можеш да го напишеш като g от n е равно на, да видим, единият от начините да го напишеш е като 168 и просто алгебрично го преработвам, върху 2 на степен n минус 1. Другият начин, по който можеш да го разглеждаш, нека използваме свойствата на степените малко, можем да кажем, че g от n е равно на, да видим, 1/2 от n минус 1, това е същото като 1/2, нека го запиша. Това е равно на 168. Нека го напиша с друг цвят. Тази част ето тук е същото нещо като 1/2 на степен n. Така че имаме по 1/2 на степен n по 1/2 на степен минус 1. 1/2 на степен минус 1, което е равно на 2, така че това е по 2. И така, можем да напишем цялото това нещо като 168 по 2 е колко? 336? 336, реших ли го вярно? 160 по 2 ще бъде 320, плюс 16, 2 по 8, да, 336. И след това имаме по 1/2 на степен n. По 1/2 на степен n. Така че това са еквивалентни твърдения. Това има малко по-интуитивен смисъл, то в известен смисъл просто ти изскача, започваш с 168 и умножаваш по 1/2. По члена, при който се намираш, минус 1. Но това е алгебрично еквивалентно на това, на първоначалното. Но можем ли също да определим g от n, като го зададем рекурентно? Пак ти препоръчвам да спреш видеото на пауза и да се опиташ да го направиш. В много отношения рекурентно зададеното определение е малко по-лесно, така че нека го направим. g, ще напиша рекурентно зададената функция с различен цвят, ще продължа с g от n, тъй като това е използвано в таблицата тук. g от n е равно на, да видим, когато n е равно на 1, ако n е равно на 1, започваме с 168. Ако n е по-голямо от 1 и е естествено число, това ще бъде определено за всички положителни цели числа, какво ще направим? Ще вземем 1/2 и ще я умножим по предишния член. Така че ще имаме 1/2 по g от n минус 1. Можеш да провериш, че това е така. Ако n е равно на 1, просто отиваме точно ето тук, имаме 168. g от 2 ще бъде 1/2 по g от 1, което е разбира се 168. Така че имаме 168 по 1/2, това е 84. g от 3 ще бъде 1/2 по g от 2, или g от 3 е 1/2 по g от 2. По този начин определяме: това е явно зададеното определение на тази геометрична прогресия, това е рекурентната функция за задаване на тази геометрична прогресия.