Основно съдържание

Курс: Алгебра 2 > Раздел 2

Урок 1: Имагинерната единица i

Степенуване на имагинерни числа

Научи как да опростиш произволна степен на имагинерната единица i. Например опрости i²⁷ като -i.

Знаем, че

i = \sqrt{- 1}

i^{2} = - 1

Но какво да кажем за

i^{3}

i^{4}

? В тези примери имагинерната единица

i

е повдигната на степен други цели числа. Как можем да ги изчислим?

Пресмятане на $i^{3}$ ‍ и $i^{4}$ ‍

Свойствата на степените могат да са ни от помощ тук! Всъщност, когато изчисляваме степените на

i

, можем да приложим свойствата, за които знаем, че важат в множеството на реалните числа, стига степенните показатели да са цели числа.

Имайки предвид това, нека намерим

i^{3}

i^{4}

Знаем, че

i^{3} = i^{2} \cdot i

. Но тъй като

i^{2} = - 1

, виждаме че:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

Подобно на това

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

. Отново като използваме факта, че

i^{2} = - 1

, имаме следното:

$\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Още степени на $i$ ‍

Нека продължим! Да намерим следващите

4

степени на

i

, като използваме подобен метод.

$\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & Свойства на степените \\ = 1 \cdot i & Тъй като i^{4} = 1 \\ = i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & Свойства на степените \\ = 1 \cdot (- 1) & Тъй като i^{4} = 1 и i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & Свойства на степените \\ = 1 \cdot (- i) & Тъй като i^{4} = 1 и i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & Свойства на степените \\ = 1 \cdot 1 & Тъй като i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Резултатите са обобщени в таблицата.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Един възникващ модел

От таблицата става ясно, че степените на

i

приемат следната поредица от стойности:

i

- 1

- i

1

Като използваме този модел, можем ли да намерим

i^{20}

? Да опитаме!

Следният списък показва първите

20

числа, чиито стойности представляват повтаряща се последователност.

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

Според тази логика

i^{20}

трябва да бъде равно на

1

. Нека видим дали можем да я подкрепим, като използваме степените. Не забравяй, че тук можем да използваме свойствата на степените, точно както при реалните числа!

$\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & Свойства на степените \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & Опростяване \end{aligned}$ ‍

И по двата начина виждаме, че

i^{20} = 1

По-големи степени на $i$ ‍

Да предположим, че сега искаме да намерим

i^{138}

. Можем да изброим редицата

i

- 1

- i

1

,... чак до

138^{-ия}

член, но това ще отнеме твърде много време!

Забележи обаче, че

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

и т.н. или с други думи

i

, повдигнато на степен кратна на $4$ ‍, е

1

Можем да използваме този факт заедно със свойствата на степените, за да опростим

i^{138}

Пример

Опрости

i^{138}

Решение

Въпреки че

138

не е кратно на

4

, числото

136

е! Нека използваме това, за да опростим

i^{138}

$\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & Свойства на степените \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & Свойства на степените \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

Следователно

i^{138} = - 1

Сега може би ще попиташ защо избираме да представим

i^{138}

като

i^{136} \cdot i^{2}

Ако оригиналният степенен показател не е кратен на

4

, тогава намирането на най-близкото кратно на

4

, което е по-малко от него, ни позволява да опростим степента надолу до

i

i^{2}

или

i^{3}

, просто като използваме факта, че

i^{4} = 1

Това число е лесно да бъде намерено, ако разделим степенния показател на

4

. То е просто частното (без остатъка) по

4

Нека се упражним с няколко задачи

Задача 1

Опрости $i^{227}$ ‍.

Най-близкото кратно на

4

, по-малко от

227

, е

224

Нека използваме това, за да опростим

i^{227}

по следния начин:

$\begin{aligned} i^{227} & = i^{224} \cdot i^{3} & Свойства на степените \\ = (i^{4})^{56} \cdot i^{3} & Свойства на степените \\ = (1)^{56} \cdot i^{3} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - i & i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

Следователно

i^{227} = - i

Задача 2

Опрости $i^{2016}$ ‍.

Задача 3

Опрости $i^{537}$ ‍.

Най-близкото кратно на

4

, по-малко от

537

, е

536

Нека използваме това, за да опростим

i^{537}

по следния начин:

\begin{aligned} i^{537} & = i^{536} \cdot i & Свойства на степените \\ = (i^{4})^{134} \cdot i & Свойства на степените \\ = (1)^{134} \cdot i & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot i \\ = i \end{aligned}

Следователно

i^{537} = i

Задача с повишена трудност

Кое от следните е еквивалентно на $i^{- 1}$ ‍?

Един лесен начин да решим тази задача, е да използваме и продължим нататък модела.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Обаче вместо да продължим модела надясно (за степените

> 1

), можем да помислим как ще го продължим наляво (за степените

< 1

). Всъщност, тъй като искаме да знаем колко е

i^{- 1}

, можем просто да продължим редицата с две позиции наляво.

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
	‍	‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Като попълним на празните места, имаме:

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Следователно

i^{- 1} = - i

Можем също да проверим това алгебрично, като използваме свойствата на степените, както е показано по-долу:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i^{- 1} \\ - i & = 1 \cdot i^{- 1} & Тъй като i^{3} = - i и i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}$ ‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 2

Пресмятане на i3‍ и i4‍

Още степени на i‍

Един възникващ модел

По-големи степени на i‍

Пример

Решение

Нека се упражним с няколко задачи

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача с повишена трудност

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пресмятане на $i^{3}$ ‍ и $i^{4}$ ‍

Още степени на $i$ ‍

По-големи степени на $i$ ‍