Въведение към свойства на логаритмите (1 от 2)

Добре дошли на тази презентация върху свойства на логаритмите. Това ще е една много практична презентация. Ако не вярваш, че някое от тези свойства е вярно, и искаш доказателства, направил съм три или четири клипа, които доказват тези свойства. Първо ще ти покажа свойствата, след което ще ти покажа как се използват. Ще го направя малко по-нагледно. Първо да преговорим бързо какво представлява един логаритъм. Ако кажа "а"... о, това не е начинът... Да видим. Искам да променя нещо – започваме. Да кажем, че... нека започна... Нека а на степен b е равно на с. Ако направим а^b = с. Друг начин за записване на това отношение е вместо да се записва като степен, се записва като логаритъм. Казваме, че логаритъм от с с основа а е равен на b. Тук се казва едно и също нещо, просто имаме различен вид резултати. В първия пример знаем a и b и намираме с. Това представлява действието степенуване. Във втория пример знаем а, както и това, че когато го повдигнем на някаква степен, получаваме с. И така намираме стойността на b. Т.е. налице е същото отношение, просто е изразено по различен начин. Сега ще ти представя няколко интересни свойства на логаритмите. Те всъщност произлизат от това отношение и обикновените правила за степенуване. Първото е това, че логаритъмът... нека използвам по-жизнерадостен цвят. Логаритъмът, да кажем, от произволна основа – нека означим основата, да кажем, че основата е b. Логаритъм с основа b от а плюс логаритъм с основа b от с... това е в сила ако имаме еднакви основи, това е важно да се запомни... е равно на логаритъм с основа b от а, умножено по с. Какво означава това и как можем да го използваме? Или нека просто го проверим с някои примери. Тук се казва... ще мина на друг цвят. Нека използвам моравото – не знам, никога не знам правилния изказ за това. Нека това е примерният ми цвят. И да кажем, че логаритъм при основа 2, от колко да е...от 8, плюс логаритъм при основа 2 от... какво ли да е, да кажем 32. На теория това трябва да е равно, ако вярваме на разглежданото свойство, това трябва да е равно на логаритъм при основа 2 от какво? Трябва да е 8 пъти по 32. Така имаме 8 по 32, това дава 240 плюс 16 е равно на 256. Нека видим дали това е вярно. Само проверяваме с тези числа, това не е доказателство. Но по този начин ще разбереш, мисля си, какво става около теб. Така, log... само сме използвали нашето свойство. Това свойство, което ти представих. Нека сега видим дали работи. Така, log при основа 2 от 8. 2 на коя степен дава 8? 2 на трета степен е 8, нали така? Този член тук е равен на 3, нали така? Log при основа 2 от 8 е равно на 3. 2 на коя степен е равно на 32? Нека видим. 2 на четвърта степен е 16. 2 на 5 степен е 32. И това тук е 2 на степен... това е 5, нали така? И 2 на коя степен е равно на 256? Ако си компютърен специалист, веднага ще знаеш отговора. Един байт съдържа 256 стойности. Така че това е 2 на осма степен. Но ако не знаем това, бихме могли да го сметнем сами. Но тук това е 8. И не го правя само защото знам, че 3 + 5 е равно на 8. Правя това по независим начин. Равно е на 8. Но в действителност излиза, че 3 плюс 5 е равно на 8. Това може да ти изглежда като магия или да е очевидно. Ако ти изглежда очевидно, вероятно си мислиш, 2 на трета степен по 2 на пета е равно на 2 на степен 3 + 5, нали така? Това си е свойството на степените. Как се нарича това? Свойство за събиране на показатели, или нещо такова. Не знам толкова названията на нещата. И това е равно на 8, 2 на осма степен. А това е точно направеното от нас тук, нали? От тази страна всъщност имахме 2^3, умножено по 2^5, а от тази страна те са събрани едно с друго. А това, което прави логаритмите интересни, е... първо е малко объркващо. И можеш да гледаш доказателствата, ако искаш нещо строго... моите доказателства не са строги. Но в случай, че искаш по-добро обяснение за принципа. Но се надявам, че от това разбираш защо е в сила даденото свойство, нали? Кога умножаваме две числа с една и съща основа? В два израза със степени, имащи една и съща основа, събираме показателите им. По подобен начин, когато имаме логаритъма на две числа, умножени помежду си, това е равносилно на логаритъма на всяко от числата, добавени едно към друго. Това е същото свойство. Ако не ми вярваш, гледай клиповете с доказателства. Нека сега решим...нека ти покажа едно друго свойство на логаритмите. То е един вид същото. Виждам ги почти еднакви. Имаме логаритъм с основа b от а, минус логаритъм с основа b от с, това е равно на логаритъм с основа b от... нещо нямам място. е равно на логаритъм с основа b от а, разделено на с. Тук имаме а, разделено на с. И пак можем да го проверим с някои числа. Най-много използвам 2, защото 2 е число, с което лесно се пресмятат степените. Но нека използваме различно число. Да кажем, логаритъм с основа 3 от... какво да е – логаритъм с основа три от... нека го направим интересно – логаритъм с основа три от 1/9 минус логаритъм с основа три от 81. Това свойство ни казва, че това е равно на... ще получа голямо число. Логаритъм при основа три от 1/9, разделено на 81. А това е същото като 1/9, умножено по 1/81. За примера си използвах две големи числа, но ще продължим нататък. Та нека видим. 9, умножено по 8, е 720, нали така? Девет пъти – добре. 9 по 8 е 720. Така че това е 1/729. И имаме log с основа 3 от 1/729. И какво дава... 3 на коя степен е равно на 1/9? Ами 3 на квадрат е 9, нали така? Знаем, че 3 на квадрат е 9, тогава 3 на степен –2 дава 1/9, нали? Отрицателният знак просто обръща дробта. И това е равно на –2, нали така? Тогава минус... 3 на коя степен дава 81? Три на трета степен дава 27. Сега имаме 3 на четвърта степен. Имаме минус 2 минус 4, равно на... добре, можем да го направим по два начина. Минус 2 минус 4 е равно на –6. И сега само трябва да потвърдим, че 3 на минус шеста степен е равно на 1/729. Това е въпросът ми. Три на степен –6 равно ли е на 1/729? Това е същото като да кажем, че 3 на шеста степен е равно на 729, защото отрицателният показател обръща дробта. Нека видим. Бихме могли да разложим на множители, но тук е такъв случаят. Бихме могли да погледнем тук. Но нека видим. 3 на трета степен – тук ще имаме 3 на трета степен, 3 на трета степен е равно на 27, умножено по 27. Изглежда близо. Може да се потвърди с калкулатор, ако не ми вярваш. Както и да е, изчерпа ми се времето и в този клип. Следващия път ще ти представя последните две свойства на логаритмите. Ако имаме време, може би ще дам примери с остатъка от време. До скоро.