Положителни и отрицателни интервали на многочлени

Даден е многочленът р(х). Когато го преобразуваме в разложен вид, той е (х + 2) по (2х – 3) по (х – 4). В това видео ще използваме нашите знания за корените на този многочлен, за да разгледаме интервалите, в които този многочлен може да е положителен или отрицателен. Основното тук е да разберем, че знакът на многочлена не се променя между последователните нули. Ще начертая един приблизителен чертеж на многочлена за да преценим дали това е вярно. Това е оста х, това е оста у. Ако начертаем приблизителна графика на многочлена, можеш да видиш, че между последователните нули знакът се запазва един и същ. Между тази нула и тази нула многочленът остава положителен. Между тази нула и тази нула многочленът остава отрицателен. Това е лесно да се потвърди логически, тъй като ако знакът се променя, това означава, че графиката трябва да пресече оста х, ще имаме нула, но ние разглеждаме интервалите между съседните нули. Значи между тази нула и тази нула той отново е положителен. После след тази нула той остава отрицателен. Повтарям, единственият начин да не остане отрицателен, е ако имаме друга нула. Сега да се върнем към примера. Ще изтрия това, защото това не е графиката на р(х), който току-що написах. Първо да помислим за нулите на многочлена. Значи нулите са стойностите на х, за които или (х + 2) е равно на нула, или (2х – 3) е нула, или (х – 4) е нула. Първо да помислим за коя стойност на х (х + 2) е равно на нула? Това е, разбира се, х равно на –2. За коя стойност на х (2х – 3) е равно на нула? (2х – 3) е нула, прибавяме 3 към двете страни и получаваме х равно на 3. Делим двете страни на 2 и получаваме х = 3/2. Последно, но не по значение, за коя стойност на х (х – 4) е равно на нула? Прибавяме 4 към двете страни и получаваме х = 4. Ако начертаем това, графиката ще изглежда приблизително така. Това е х = –2, х равно на –1. Това е нула. Това са едно, две, три, четири. Ще начертая и оста у. Оста у изглежда ето така, х и у. Имаме нула при х = –2, значи графиката на многочлена пресича оста х тук. Имаме нула при х = 3/2, което е 1 цяло и 1/2, което е ето тук. После имаме нула при х = 4, което е ето тук. Имаме няколко интервала. Всъщност ще направя една таблица. Значи интервалите, които са между това и това – между две последователни нули, интервалите, които ни интересуват... Ще направя една таблица. Имаме х по-малко от –2. Това е единият интервал. х е по-малко... всъщност ще го кодирам цветово. Ако кажем интервала за х < –2, това е това жълтото, което чертая най-вляво. Имаме интервал, в който х е между –2 и 3/2. Значи –2 е по-малко от х, х е по-малко от +3/2. Това е този интервал ето тук. Този интервал – опитвам се да използвам всичките си цветове – между 3/2 и 4 е този интервал ето тук. Той е 3/2 < х < 4. Последно, но не по значение, имаме интервала х > 4, това е този интервал тук. Значи х е по-голямо от 4. Има няколко начина да разсъждаваме дали в този интервал нашата функция е положителна или отрицателна. Единият метод е просто да анализираме р, нашата функция р в някоя точка от интервала. Ако е положителна, това означава, че целият интервал е положителен. Ако е отрицателна, това означава, че целият интервал е отрицателен. Повтарям, това е много логично, защото ако по някаква причина знакът се променя, тогава ще имаме друга нула, както вече казах. Друг начин да разсъждаваме е: в този интервал какво е поведението на (х + 2), (2х – 3) и на (х – 4)? Можем да помислим дали те са положителни или отрицателни и да използваме знанията си за произведенията на положителни и отрицателни членове, за да преценим дали многочленът е положителен или е отрицателен. Можем да го направим и по двата начина. Можем да разгледаме примерни стойности на х. Да видим дали можем логически да преценим или да отгатнем дали в този интервал дали стойността на многочлена е положителна или е отрицателна. За х < –2, може би е лесно или е очевидно да използваме произволна стойност на х, която е по-малка от –2, да пробваме с х = –3. Можеш да изчислиш р от –3. Можеш просто да го сметнеш. Всъщност, хайде да го сметнем. Това ще е равно на минус 1 по, 2 по –3 е –6, –6 минус 3 е –9, по... –3 минус 4 е –7. Ако умножим всички тези членове, ще получим –63, което определено е отрицателно. Значи в този интервал тук нашият многочлен е отрицателен. Сега да видим следващия интервал. Интересното тук е, че дори не е нужно да смятаме това –63. Можем да видим само, че имаме минус по минус, по минус, което дава отново минус. Да направим това за следващия интервал. Да помислим просто дали всеки от тези членове ще е положителен или отрицателен и какво ще получим като умножим тези положителни и отрицателни числа. Във втория интервал между –2 и 3/2 какво ще се случи? Можем да изберем една подходяща точка. Да кажем, че х е равно на 0. Това ще е много лесно. Когато х е нула, ще имаме положително по отрицателно, по отрицателно. Положително по отрицателно дава отрицателно. Причината да правя това наум, е, че си казвам: "Това ще бъде плюс 2 по минус 3, по минус 4. Значи положително по отрицателно, по отрицателно, което ще напиша по този начин. Ще бъде положително по отрицателно, по отрицателно. Отрицателно по отрицателно е положително, а положително по положително е положително. Значи в този интервал знакът е положителен. Ако сметнем многочлена за х = 0, той има положителна стойност. А какво да кажем за този интервал? А в следващия интервал между 3/2 и 4? Можем да заместим с х = 2. Когато х е равно на 2, получаваме положително по положително, по... 2 минус 4 е отрицателно, значи по отрицателно. Значи многочленът е отрицателен в този интервал. Последно, но не по значение, когато х е по-голямо от 4, можем да заместим х примерно с 5. Ще получим положително, положително по положително, по положително. Значи многочленът е положителен в този интервал. Както споменах, можеш да установиш това и без примерни точки. Можеш да кажеш: "Когато х е по-голямо от 4, тогава за всяко х, което е по-голямо от 4 ако към него прибавим 2, със сигурност получаваме положителна стойност. За всяко х, което е по-голямо от 4, ако го умножим по 2 и от полученото извадим 3, отново ще получим положителна стойност, защото две по нещо, което е по-голямо от 4, със сигурност е по-голямо от 3. За всяко х, което е по-голямо от 4, ако от него извадим 4, ще получим отново положителна стойност. Това е другият начин да преценим това, дори ако не използваме примерни точки. И така разбрахме в кои интервали функцията е отрицателна или положителна. Ние не знаем точно как изглежда тази функция, но в знаем принципно, че тя е отрицателна в този първия интервал. Тя може да изглежда приблизително така. В следващия интервал тя е положителна. После е отрицателна в третия интервал. След това е положителна в последния интервал. Така че получаваме един общ вид подобно на това. Не знаем, без да намерим повече точки, не знаем колко високи или колко ниски стойности приема.