Графичното отношение между една функция и нейната производна (част 1)

Имам тази странна прекъсната функция тук, която ще означим като f(х). Искам да опитам да начертая нейната производна. Трябва да помислим за това какъв е наклонът на допирателната, или наклонът във всяка точка на тази крива, и после да се постарая да начертая този наклон. Да опитаме да го направим. Ето тук в тази точка наклонът е положителен. Всъщност е доста положителен. Когато х нараства, наклонът все още е положителен, но по-малко положителен, и намалява до тази точка, в която става нула. Да видим как мога да го начертая. Ето тук знаем, че наклонът трябва да е равен на 0. Ето точно тук. Спомни си, че се опитвам да начертая у = f'(х). Ще допусна, че това е някаква парабола. Ще разбереш след малко защо правя това допускане. Да кажем, че – да видим, тук наклонът още е положителен. Да кажем този наклон тук. И после става все по-малко и по-малко положителен. Допускам, че това става равномерно. Затова допускам, че това е някаква парабола. Става все по-малко и по-малко положителен. Обърни внимание, например, тук наклонът е още положителен. Когато разглеждаме производната, наклонът има все още положителна стойност. Но когато х нараства до тази точка, наклонът става все по-малко и по-малко положителен. Чак тук до 0. И после наклонът става все по-отрицателен. В тази точка изглежда, че наклонът е толкова отрицателен, колкото положителен е ето тук. Затова в тази точка ето тук наклонът е толкова отрицателен, колкото положителен е тук. Това изглежда като основателно предположение за наклона на допирателната в този интервал. Сега да видим какво става, когато идваме в тази точка. Тук наклонът изглежда постоянен. Наклонът има постоянна положителна стойност. Тук наклонът е константна положителна права. Трябва да внимавам тук, защото в тази точка наклонът не е точно дефиниран, защото наклонът – можем да начертаем много допирателни в тази точка. Затова тук просто ще направя едно кръгче. После, когато идваме тук, наклонът изглежда положителен. Ще го начертая. Наклонът изглежда положителен, въпреки че не е толкова положителен, колкото тука. Наклонът изглежда като... опитвам се да го преценя на око – наклонът е постоянен и положителен през цялото време. Имаме права с постоянен положителен наклон. Може би изглежда ето така. Само да поясня за кой интервал говоря. Искам да има съответствие. Ще се постарая. Това съответства на това. Това съответства на това тук. И казахме, че имаме постоянен положителен наклон. Да кажем, че изглежда като нещо такова в този интервал. После разглеждаме тази точка ето тук. Точно в тази точка наклонът не е дефиниран. Не можем да определим наклона тук – в тази точка на прекъсване. После идваме ето тук, и въпреки че стойността на функцията намалява, все още имаме постоянен положителен наклон. Всъщност наклонът на тази права изглежда идентичен на наклона на тази права. Ще използвам различен цвят. Наклоните на тези прави изглеждат еднакви. Ще продължим със същия наклон. Той беше неопределен в тази точка, но продължаваме със същия наклон. Отново е недефиниран ето тук в тази точка на прекъсване. Наклонът ще изглежда някак ето така. И после идваме тук горе. Стойността на функцията нараства, но сега функцията е плоска. Така че наклонът в този интервал е 0. Можем да кажем – искам да поясня за кой интервал говоря – наклонът в този интервал е нула. И накрая, в последния участък – ще използвам оранжево – наклонът става отрицателен. Но е постоянно отрицателен. Изглежда малко по-отрицателен, отколкото тези бяха положителни. Ще го начертая ето тук. Това е една много странна функция. Идеята на цялото видео беше да разбереш логиката, когато разсъждаваш как може да изглежда наклонът на функцията в произволна точка. И по този начин всъщност начертахме производната в този интервал.