Производни на функциите sin(x), cos(x), tg(x), eˣ и ln(x)

Хайде да се запознаем с производните на някои от най-често срещаните функции. Няма да ги доказваме в това видео, но поне ще разберем какви са производните им. Да започнем първо с тригонометричните функции. Производната спрямо х на синус от х е равна на косинус от х. Ако разгледаме техните графики, ще видим, че това е логично. Пак казвам, че няма да го доказваме сега, но е хубаво да знаеш, че производната на синус от х е равна на косинус от х. А коя е производната на косинус от х? Коя е производната спрямо х от косинус от х? Тя е равна на –sinх. Значи производната на синус е косинус, а производната на косинус е минус синус. Накрая, производната на тангенс от х е равна на 1/(cosх)^2, което е равно на секанс на квадрат от х. Това са неща, които е хубаво да се знаят. Сега да видим някои показателни и логаритмични функции. Производната на... всъщност, това е едно от най-яките неща, което още веднъж ни показва колко страхотно е числото "е", производната спрямо х на е^х – тук са ни нужни фанфари, защото това е едно от най-яките неща в математиката. Производната на e^х е равна на е^х. Какво означава това? Тук ще направя малка пауза, просто защото това е толкова вълнуващо. Ще построя графиката на е^х. Това е оста у. Това е оста х. Ако имаме отрицателни стойности на х, е на много отрицателна степен, това се приближава до нула. После е на нулева степен е 1, това тук е 1. Ще изглежда горе-долу така. И после имаме експоненциална част. Това започва да нараства много, много бързо. Да кажем, че това е графиката на е^х. Тя ни показва, че във всяка точка... да кажем, че сме ето тук. Когато х е равно на 0, е на нулева степен е 1, а какъв е наклонът на допирателната тук? Оказва се, че е 1. Удивително! Ако отида в х = 1 ето тук, е на първа степен е просто е. Какъв е наклонът на допирателната в тази точка? Той също е равен на е. Във всяка точка наклонът на допирателната е равен на стойността на функцията в тази точка. Това е удивително! Това е супер интересна характеристика на числото е. Но не това е целта на това видео. Тук искам да изброя някои от производните, които може би ще ти трябват. Накрая, ако търсим производната спрямо х на натурален логаритъм от х, това ще бъде равно на... това също е изумително. Производната е равна на 1/х или на х^(–1). Някак си натуралният логаритъм се е вградил в... когато определяме производната, той запълва празнината, която правилото за производна от степен оставя вакантна, която е, дали има функция, чиято производна да е равна на х^(–1)? Правилото за производна на степен ни дава производни, които могат да са на степен –2 или –3, или х на квадрат, или х на пета степен. Но х на степен минус първа е "вакантно" така да се каже, и това се запълва от логаритъм от х. Не го доказвам тук. Само изброявам тези производни. Ще ги използваме в бъдещите уроци, както и ще ги докажем в бъдещи видеа.