Доказателство на правилото за диференциране на частно на две функции

Вече знаем, че правилото за произведение ни казва, че ако имаме произведение от две функции... Да кажем f(x) и g(x)... и искаме да намерим производната на това, тя ще бъде равна на производната на първата функция, f прим от х, по втората функция, g(х), плюс първата функция, без да взимаме нейната производна, т.е плюс f(x), по производната на втората функция. Две събираеми, в едното от тях взимаме производната на една от функциите и другата, и после ги разменяме. Тук е само производната на f, без тази на g. Тук е производната само на g, без тази на f. Надявам се, че това е малко като преговор. Това е правилото за производна на произведение. По същество ще приложим отново правилото за произведение, за да получим това, което учебниците наричат правило за производна на частно. Имам смесени чувства за правилото за производна на частно. Ако го знаеш, може да направи някои операции малко по-бързи, но всъщност се извежда от правилото за произведение. Честно казано винаги забравям правилото за частно и просто го извеждам от правилото за произведение. Да видим за какво говорим. Нека си представим, че имаме израз, който може да се запише като f(x) делено на g(x), и искаме да сметнем производната на това, производната на f(x) върху g(x). Важното нещо е да осъзнаем, че това е същото нещо като производната... Вместо да запишем f(x) върху g(x), можем да запишем това като f(x) по g(x) на степен –1. Сега можем да използваме правилото за производна на произведение и малко от верижното правило. На какво ще е равно това? Просто използваме правилото за производна на произведение. То е производната на първата функция тук... Ще бъде f прим от х по втората функция, която е просто g(x) на степен –1, плюс първата функция, която е просто f(x), по производната на втората функция. Тук трябва да използваме верижното правило. Производната на външната функция, която можем да разглеждаме като нещо на степен –1, спрямо това нещо, ще бъде –1 по това нещо, което в този случай е g(x), на степен –2. После смятаме производната на вътрешната функция спрямо х, което е просто g прим от х. Готово. Намерихме производната на това, използвайки правилото за произведение и верижното правило. Това не е формулировката, която ще видиш, когато се говори за правилото за производна на частно в учебниците по математика. Да видим дали можем да опростим това малко. Всичко това ще бъде равно на... Можем да запишем това тук като f прим от х върху g(x). Можем да запишем всичко това като... Можем да сложим този минус отпред. Получаваме –f(x) по g прим от х. После цялото това върху g(x) на квадрат. Нека запиша това малко по-ясно. Цялото това върху g(x) на квадрат. Все още не е във вида, който обикновено се вижда в учебниците. За да стигнем до там, просто трябва да съберем тези две дроби. Нека умножим числителя и знаменателя тук по g(x), за да имаме навсякъде g(x) на квадрат в знаменател. Ако умножим числителя по g(x), ще получим g(x) тук и после знаменателят ще стане g(x) на квадрат. Сега сме готови за събиране. Получаваме, че производната на f(x) върху g(x) е равна на производната на f(x) по g(x) минус... вече не е плюс... нека го запиша в бяло... f(х) по g прим х, цялото върху g(x) на квадрат. Отново казвам, че винаги можеш да изведеш това от правилото за произведение и верижното правило. Понякога може да е удобно да го помним, за да решим някоя задача в този вид малко по-бързо. Ако искаме да видим връзката между правилото за произведение и правилото за частно: производната на едната функция по другата функция. Вместо да добавяме производната на втората функция по първата функция, сега изваждаме. И всичко е върху втората функция на квадрат. Каквото е имало в знаменател, цялото е на квадрат. Когато говорим за производната на функцията в знаменател тук горе, има изваждане, а после слагаме всичко върху втората функция на квадрат.