Производни на полярни функции

Дадена ни е графиката на функцията r = sin(2*θ) в полярни координати, а ако не познаваш полярните координати или имаш нужда да си ги припомниш, те окуражавам да потърсиш за полярни координати в Кан Академия или да провериш раздела за въведение в математическия анализ. В настоящия урок ще ти дам основни насоки. Нека да разберем защо тази графика изглежда по този начин. Какво правим за всяка точка тук? Очевидно може да определим тези точки чрез x и y координати, но можем също и да ги определим чрез ъгъл и радиус. Например това ще има някаква x координата и някаква y координата или можем да начертаем права от началото до ето тази точка тук и да я определим чрез ъгъл θ и някакъв радиус r, който е разстоянието от началото до тази точка. Нека да се запознаем с тази крива и да осмислим защо се получава. Когато θ = 0, то r = 0, тогава sin(2*0) = 0, тогава за r се получава, че е в началото и, когато θ нараства, то и r нараства, и започваме да поставяме тези точки от това листенце на цветето, или детелината, така че започва да придобива този вид и продължаваме така през цялото време. Какво се случва, когато θ = π/4? Когато θ = π/4 ето тук, то sin(2π/4), e sin(π/2), то r = 1. Функцията достига до вид максимум там, и като θ намалява, r започва да намалява и става все по-малък и по-малък. Сега ще свържем това с математическия анализ, така че първият въпрос може да бъде как да изразим скоростта на промяна на r, в зависимост от ъгъла θ? Сложи видеото на пауза и разбери дали можеш да отговориш самостоятелно. Какво е r'(θ)? Тук наистина няма нищо ново. Просто имаш една променлива като функция на друга. Просто прилагаш верижното правило (производна на съставна функция). Намиране на производна спрямо θ от тази функция. Производната на sin(2*θ), спрямо θ ще бъде cos(2*θ) Тогава можеш да го умножиш по производната на 2*θ, спрямо θ, което e 2, така че може да кажем само 2, или може да напишем 2 отпред. Това беше интересно, но нека да видим дали може да представим тази крива чрез x и y и тогава да помислим за производните. Подобен пример, разгледан във въведението в математическия анализ, е, че когато искаш да преминеш от полярни координати към правоъгълни, трябва да запомниш трансформацията, че y = r.sinθ, a x = r.cosθ Един много бърз пример, защо това е така? Нека да разгледаме една от комбинациите между r и θ ето тук. Нека това да е θ, а това r. Височината на тази страна ще е координатата y, а дължината на тази страна ще бъде координатата x. Знаем от тригонометрията, от определението за окръжност, и от определенията на тригонометричните функции, че sinθ е срещулежащият катет върху хипотенузата. sinθ e равна на y върху хипотенузата, т.е. sinθ = y/r която е r, а cosθ е равна на прилежащия катет, или x, върху r, т.е. cosθ = x/r Просто трябва да умножиш и двете страни на тези уравнения с r, за да получиш това, което написахме тук. Повтарям, ако това ти се струва твърде бързо, това е само преговор на полярните координати от въведение в математическия анализ. Сега обаче може да изразим тези формули изцяло като зависимост от θ. Как да го направим? Знаем, че r = sin(2*θ), така че трябва просто да замениш радиусите r със sin(2*θ). y ще бъде равно на sin(2*θ), т.е. sin(2*θ) умножено по sinθ, умножено по sinθ. x ще бъде равно на sin(2*θ), умножено по cosθ, умножено по cosθ. Сега може да използваме тези изрази, за да открием скоростта на промяна на y спрямо θ. Търсим общ вид за това. Сложи видеото на пауза и провери дали можеш да го направиш. Нека го направим заедно. Това е отново случай, в който ще използваме техниките за намиране на производна. Мога да напиша y'(θ), производната на y спрямо θ. Просто ще приложа правилото за производна на произведение. Производната на първия израз е 2*cos(2*θ), cos(2*θ) като това вече го видяхме веднъж. Този резултат следва от верижното правило. След това умножаваме по втория израз sinθ и прибавяме първия израз, sin(2*θ), умножен по производната на втория израз. Производната на sinθ e cosθ. Можем да направим същото и за x. x'(θ) е равна на производната на първия израз, което ще бъде 2*cos(2*θ), умножено по втория израз, cosθ. След това взимаме първия израз sin(2*θ) и го умножаваме по производната на втория израз, който е –sinθ. Можем да използваме резултите и дори да ги определим за различни точки. Например можем да се запитаме какво се случва, когато θ = π/4? Когато θ = π/4... Ще оцветя това тук в черно. Ще се намираме в тази точка, точно там. Нека да направим оценка. Ако приема, че y'(π/4) е равно на... това ще е равно на 2*cos(π/2), т.е. cos от 2π/4, умножено по sin(π/4) плюс sin(2π/4), което е sin(π/2), умножено по cos(π/4) Косинус от π/4. На какво ще бъде равно това? Косинус от π/2 е 0, така че ако това е 0, всичко това ще е равно на 0, а тук има sin(π/2), което е 1, следващото cos(π/4), е sqrt(2)/2, квадратен корен от две, цялото върху две, така че цялото ще бъде равно на sqrt(2)/2 Всъщност с цел да спестим място, ще го напиша ето тук. Ще бъде равно на sqrt(2)/2. Може да направим същото и с x. Тоест, x'(π/4). Нека да видим. Отново имаме 2*cos(2π/4), така че това ще бъде cos(π/2). Първата част ето тук ще изглежда по същия начин, така че първият член ще бъде 0. След това имаме минус, а това цялото ще е 0, следователно имаме –sin(2π/4), което е sin(π/2). След това е умножено по sin(π/4), Това ще бъде 1, така че това ще бъде равно на... това е sqrt(2)/2 също, следователно е равно на –sqrt(2)/2. Нека да видим защо това е така. Нека да помислим какво се случва, когато θ нараства тук. Ако θ нарасне малко от π/4, ако съвсем малко нарасне, y координатата продължава да нараства, така че логично наклонът (ъгловият коефициент) тук е положителен. Какво обаче се случва с x, когато θ нарасне малко, например от тук стигне до тук? Тогава x координатата започва да намалява, когато θ нараства, и това обяснява защо има отрицателна скорост на изменение (намалява) ето тук. Следващия въпрос, който може да зададеш, например: ако искам да определя скоростта на изменение на y спрямо x, защото искам да открия наклона на тангентата в тази точка. Изглежда, че наклонът е –1, но как действително ще го изчислим? Един начин да мислим за това е производната на y, производната на y спрямо x, и това ще е равно на производната на y спрямо θ, върху производната на x спрямо θ. В тази стойност, или за θ = π/4 това ще е равно на sqrt(2)/2, върху –sqrt(2)/2. След опростяване, това цялото е равно на –1, което изглежда логично. Това изглежда точно като тангента, която има наклон от –1. Надявам се, че това изяснява задачата, и се чувстваш малко по-уверено. Припомнихме си малко полярните координати, но и научихме нещо ново като започнахме да намираме производни.