Математическа обосновка за растящи функции

Дадена е диференцируемата функция h и производната ѝ h', представени графично на дадения чертеж. Можеш да видиш, че h е със син цвят, а производната ѝ h' с оранжев. На четирима студенти било зададено да открият математически обосновано доказателство за факта, че h е нарастваща функция, за x > 0 Можеш ли да свържеш коментарите на учителя с доказателствата? Преди дори да погледнем какво са написали студентите, можем просто да погледнем графиката и да видим, че h е нарастваща за x > 0. Само да вземем предвид графиката на h обаче само по себе си не е математическо доказателство. Не използваме математически анализ. Използваме знанията си за вида на графика на нарастваща функция. За да бъде математически обосновано доказателството, трябва да приложим математически анализ по някакъв начин. Може би като използваме производна. Може да разпознаеш, че по правило функцията е нарастваща, ако производната ѝ е положителна. Преди дори да погледна какво са отговорили студентите, ще дам моето математическо доказателство. И дори няма нужда да гледам графиката на h. Просто като наблюдавам графиката на производната h', мога да заявя, че h' > 0, когато х > 0. Ако производната е положителна, то това означава, че наклонът (ъгловият коефициент) на допирателната в тази точка е положителен и графиката на първоначалната функция е нарастваща. Нека да проверим дали някой от студентите е отговорил така и какво са отговорили другите. Можеш ли да свържеш коментарите на учителя с доказателствата? Един от студентите заявява, че производната е нарастваща, когато x > 0. Действително това е вярно, за x > 0, но това не е доказателство защо h е нарастваща. Например производната може да нараства дори когато има отрицателна стойност. В такъв случай h ще е намаляваща. Подходящото доказателство е, когато h' е положителна, но не е задължително нарастваща, защото може да е нарастваща и все пак отрицателна. Нека да проверим. Бих казал, че коментарът е: "Това не доказва защо h е нарастваща." Когато x > 0, и x нараства, стойностите на функцията също нарастват. Това е доказателство защо h е нарастваща, но не чрез математически анализ. По никакъв начин не се използва производна. 'Това не е математически обосновано доказателство.' Над оста x e. Какво означава това? Зa h ли става дума? Или за h'? Ако имат предвид, че h' е над оста x, където x > 0, то това е добър отговор. Тук е заявено обаче, че нещо е над оста x. А в какъв интервал? Нека да слезем малко по-надолу. Този отговор на учителя изглежда подходящ. "Моля използвайте по-конкретен изказ. Това не може да се приеме за вярно доказателство." И накрая, този последен студент е написал, че производната h' > 0, когато x > 0, и точно това е случаят. Ако производната е положителна, то това означава, че първоначалната функция ще нараства в съответния интервал. "Страхотно! Това е вярно."