Тест на втората производна

Искам в настоящия урок да се запознаем с изследването на втората производна. Преди въобще да преминем към съществената част, искам да добием представа какво ни дава изследването на втората производна. Нека само да начертая една координатна система. Нека да кажем, че това е моята ос у, а това е оста х. Нека предположим, че имам функция, която има локален максимум в точката х = с. Нека да кажем, че разполагаме със ситуация, която изглежда като ето това. И х = с е точно ето това. Това е точката (c; f(c)). Мога да начертая и по-права прекъсната линия. Това е точката х = с. Виждаме, че тук има локален максимум. Може да използваме методи от математическия анализ, за да проверим какво се случва в тази точка. Едно от нещата, които знаем, е, че наклонът на допирателната, поне по начина, по който я начертах, наклонът в тази точка е равен на 0. Може да кажем, че f' от c е равно на 0. Друго нещо, което може да видим, е, че функцията е вдлъбната в близост до точката х = с. Забележи, че наклонът постоянно намалява. Наблюдаваме, че наклонът е положителен, става по-малко положителен, дори още по-малко положителен. Достига до 0, след което става отрицателен, още повече отрицателен и дори още повече отрицателен. Знаем, че f'' от с е по-малко от 0. Не съм направил математически обосновано доказателство сега, но в точката х = с функцията има критична точка, т.е. f' от c е равно на 0. Виждаме, че в тази точка втората производна е по-малко от 0. Интуитивно това ни дава усещане, че в тази точка има локален максимум. Може да разгледаме и обратния случай: в точката х = с да има локален минимум, или точка на локален минимум. Първата производна отново следва да е равна на 0, защото наклонът на допирателната в тази точка отново е равен на 0. f' от c е равно на 0. Но в тази втора ситуация функцията е изпъкнала. Наклонът постоянно нараства. Имам отворена отгоре купа. Следователно имаме стойност на локален минимум, или може да твърдим, че втората производна е по-голяма от 0. Видно е от графиката, че е точка на локален минимум, което може да заявим и само като погледнем производните, поне по начина, по който съм начертал графиката. Първата производна е равна на 0, а функцията е изпъкнала. Втората производна е по-голяма от 0. Разбирането и усещането, което сме придобили, е това, което научаваме от изследването на втората производна. Това изследване гласи следното: Дадена е някаква функция f, която е двойно диференцируема. Това означава, че в рамките на някакъв интервал, са дефинирани нейната първа и втора производна. Нека да кажем, че съществува точка х равно на с, където първата производна е равна на 0. Наклонът на допирателната е равен на 0, а производната съществува в близост до точката с. Повечето от функциите, които изследваме – ако са диференцируеми в точката с – то следва да са диференцируеми и в близост до точката с. След това предполагаме, че втората производна съществува, т.е. функцията е двойно диференцируема. Може да има налице точка на максимум, а може и да е точка на минимум. Може и да не знаем за каква стойност става дума. А може да не е нито точка на максимум, нито точка на минимум. Но като използваме изследването на втората производна, намираме втората производна, и ако тя наистина е по-малка от 0, то функцията има локален максимум в тази точка. Тогава това е случаят, с който започнахме ето тук горе. Ако втората производна е по-голяма от 0, тогава се намираме в този случай ето тук, а функцията е изпъкнала. Там, където наклонът е равен на 0, се намира дъното на купата. Имаме точка на локален минимум. А ако втората производна е равна на 0, то не може да направим извод. Не знаем какво точно се случва в тази точка. Не може да направим някакво крайно заключение. С това, което казахме дотук, нека да решим един кратък пример, за да видим дали концепцията е усвоена. Нека да кажем, че е дадена двойно диференцируемата функция h. Нека да кажем, че ти съобщя, че h от 8 е равно на 5. Казвам ти, че h' от 8 е равно на 0. И ти казвам, че втората производна в точката х = 8 е равна на –4. Като знаеш това, можеш ли да ми кажеш дали точката (8; 5), т.е. дали тази точка, е точка на локален минимум, или е точка на локален максимум, или не разполагаш с достатъчно данни. Липсват ли достатъчно данни, за да направиш извод? И както винаги, спри видеото и провери дали можеш да решиш задачата самостоятелно. Предполагаме, че функцията е двойно диференцируема, и мисля, че е безопасно да предположим... т.е. за целта на нашия урок ще предположим, че производната съществува в близка околност на точката x = 8. Следователно в този пример точката с е равно на 8. Точката (8; 5) определено е точка от кривата. Производната е равна на 0. Потенциално налице е единият от тези случаи. А втората производна е по-малка от 0. Втората производна е по-малка от 0. Това изяснява всичко. Фактът, че втората производна, т.е. h'' от 8 е по-малко от 0, ни казва, че попадаме ето в този случай ето тук. Следователно, само по данните, с които разполагаме, може да заявим, че в точката (8; 5) функцията има локален максимум. С други думи, това е точка на локален максимум за функцията. Ако ни бяха дали информация, че втората производна е равна на 0, то тогава нямаше да можем да направим извод. Ако ни бяха дали информация относно втората производна, че е по-голяма от 0, то тогава функцията щеше да има локален минимум в точката х = 8.