Имплицитни производни

Дадено е уравнението x^2 + y^2 = 1. Може да го наречем зависимост между двете променливи. Ако искаме да построим графиката на всички точки x и y, които удовлетворяват това уравнение, ще се получи окръжност с радиус 1 като тази единична окръжност. Това, което съм любопитен относно настоящия урок, е как може да намерим наклона на допирателната във всяка точка от тази единична окръжност. А това, което може би веднага ти идва наум, е, че окръжност, която е дефинирана по този начин, не е функция. y не е изрично дефинирана като функция на x. За всяка стойност на x, всъщност имаме две възможни стойности за y, които удовлетворяват даденото отношение. Може да се изкушиш да разделиш уравнението на две различни функции на x. Може да кажеш, че функцията y е равна на плюс корен квадратен от 1 – x^2. А може да кажеш и, че функцията y е равна на минус корен квадратен от 1 – x^2. Да намериш производните на всяка от тези функции поотделно. И ще можеш да намериш производната за всяка стойност на x или стойността на наклона на допирателната във всяка точка от функцията. Но това, което искам да направя в този урок, е да използвам верижното правило, за да диференцирам тази функция като неявна функция. Така че да не е необходимо изрично да дефинирам y като функция на x по какъвто и да е начин. Ще направим това, като просто приложим правилата за диференциране към двете страни на уравнението. След това ще приложим това, което знаем за верижното правило. Тъй като не дефинираме изрично функцията y като функция на x и конкретно да получим y' като равно на f'(x), това се нарича... което е действително само приложение на верижното правило – наричаме това диференциране на неявна функция. Диференциране на неявна функция. И това, което искам да имаш наум през цялото време е, че това е просто приложение на верижното правило. Нека да запишем означението за производна d/dx в двете страни на уравнението. Ще се получи производната спрямо x на x^2 + y^2 от лявата страна на нашето уравнение. Тогава това просто ще бъде равно на производната спрямо x на дясната страна на уравнението. Просто прилагам едно и също нещо към двете страни на това уравнение. Сега, ако търся производната на сумата на два члена, то това е същото като да намеря сумата на производните им. Тоест това ще бъде равно на същото нещо като производната спрямо x на x^2 плюс производната спрямо x на y^2. Първо записвам всичко, което е в оранжев цвят. Нека да видим. Това ще бъде x^2, а това ще бъде y^2. Тогава ето този член просто ще бъде равен на производната на константа спрямо x. Тоест няма да се промени спрямо x. Следователно просто се получава нула. Разглеждаме първия член ето тук, което сме го решавали много, много пъти. Производната спрямо x на x^2, се получава като просто приложим правилото за намиране производна на степен. Ще бъде равно на 2 по x на първа степен. Може просто да го запишем като 2x. Сега интересното е това, което ще направим ето тук. Производната спрямо x на y^2. И, за да го реализираме, следва просто да приложим верижното правило. Ако търсим производната спрямо x на този израз, просто следва да намерим производната – нека да го изясня – просто ще намерим производната на този израз, т.е. на това нещо. Производната на y^2 – това е, което търсим и може по някакъв начин да го разглеждаш като функция – спрямо y, а след това да го умножиш по производната на y спрямо x. Предполагаме, че y се променя спрямо x. y не е същият вид константа, която просто записваме като общите членове. Следователно търсим производната на ето този член, т.е. на цялото това нещо, спрямо y. Още веднъж, просто прилагаме верижното правило. След това намираме производната на y спрямо x. Може да бъде малко по-ясно, ако мислиш за това като за производната на y спрямо x, т.е. като функция на x. y функция на x. Това може да бъде... или y е функция на x^2, което всъщност е друг начин да запишем това, което ни е дадено по условие. Това може да е малко по-ясно в рамките на верижното правило. Производната на y е функция на x^2 спрямо y(x). Следователно производната на нещо на квадрат, спрямо това нещо, умножено по производната на това нещо спрямо x. Това е просто верижното правило. Искам да го напомня отново и отново. Това е просто верижното правило. Нека да го направим. Какво ще получим отдясно ето тук? Ще го запиша също ето тук. Това ще бъде равно на производната на y^2 спрямо y, т.е. просто ще бъде равно на 2 по y. 2y, просто приложение на верижното правило. А производната на y спрямо x? Е, не знаем на какво ще бъде равна. Следователно просто ще го оставим като умножено по производната на y спрямо x. Нека просто да запишем това ето тук долу. И така, получихме 2x плюс производната от нещо на квадрат, спрямо това нещо, т.е. плюс два пъти по това нещо. В този случай, това нещо е y, така че два пъти по y. След това умножаваме по производната на y спрямо x. И всичко това ще бъде равно на нула. Това беше интересно. Сега имаме уравнение, което съдържа производната на y спрямо x в себе си. Това всъщност е нещото, което искаме да получим от уравнението. Това е наклонът на допирателната във всяка точка. Всичко, което искаме да направим в този момент, е да решим уравнението за производната на y спрямо x. Решаваме уравнението. Нека да го направим. И, за да може да направим цялото това нещо на същата страница, за да виждаме откъде сме започнали, ще копирам и поставя това ето тук горе. Ето тук е, където спряхме. Нека да продължим от там. Нека да извадим 2x от двете страни на уравнението. Остава 2y по производната на y спрямо x, е равно на... Изваждаме 2x от двете страни, т.е. е равно на –2x. И ако искаме да получим на колко е равна производната на y спрямо x, следва просто да разделим двете страни на 2y. Просто разделяме двете страни на 2y. Остава ни производната на y спрямо x. Нека да слезем малко по-надолу. Производната на y спрямо x е равна на... Тези двойки се съкращават. Тогава оставаме с минус x върху y. Това е интересно. Не беше необходимо изрично да дефинираме y като функция на x тук. Но получихме производна като зависимост от x и y. Не само като зависимост на x. Какво означава това обаче? Да кажем, че искахме да намерим например... да намерим производната в тази точка ето тук. Което, ако ти е позната единичната окръжност, ако това е ъгъл от 45 градуса, това щеше да е равно на (квадратен корен от 2 върху 2; квадратен корен от 2 върху 2) Какъв е наклонът на допирателната там? Е, ще го намерим. Ще бъде равен на минус x върху y. Наклонът на допирателната тук... Наклонът на допирателната точно в тази точка ще бъде равен на минус x... Тоест минус квадратен корен от 2 върху 2, върху y. Или върху квадратен корен от 2 върху 2, което означава, че резултатът е –1. И това изглежда наистина правилно.