Въведение в движението в едно измерение с използване на диференциално смятане

В настоящия урок ще разгледаме как да описваме местоположение в едно измерение като функция на времето. Когато казваме местоположение, имаме предвид позицията по оста х като функция на времето. Може да я дефинираме като някакъв израз. Нека да кажем, че в този случай ще бъде равна на времето t на трета степен, минус 3 по времето t на квадрат, плюс 5. И функцията ще бъде дефинирана, когато времето t е положителна величина. Идеята за отрицателно време, поне засега, е малко странна. Нека да помислим върху това какво описва този израз. За да ни е по-лесно да го направим, нека да създадем една таблица. Знаем, че в зависимост от момента от време t... нека да кажем, че времето t е в секунди... се намираме в определена позиция по оста х. В момент от време t = 0, х от 0 ще бъде равно на 5. За момент от време t = 1, х от t ще бъде равно на 1 минус 3, плюс 5. Това ще бъде равно на следното. Нека да видим. 1 минус 3 е равно на минус 2, плюс 5, т.е. ще бъде равно на 3. Ще се намираме в позиция 3. След това избираме момент от време t равно на 2. Ще се получи 8 минус 12 плюс 5, което е равно на позиция 1. Избираме момент от време t = 3. Функцията се получава 27 минус 27 плюс 5, което отново ни връща в позиция 5. Това поне може да ни помогне да разберем какво се случва през първите три секунди. Нека да начертая положителната посока на оста х. Ще изглежда като нещо такова. Тази стойност тук е х =0. Записваме, че това е ос х. х е равно на едно, две, три, четири, пет. Нека сега да разгледаме как тази частица, за която става дума, се придвижва по оста х. Започваме ето оттук, и се движим ето така – едно, две, три. Нека го направим отново. Движим се ето така – едно, две, три. Начинът, по който движа мишката – ако предположим, че правилно отброявам времето – показва как се движи частицата. Може да начертаем и графика на движението. Например, би изглеждала по подобен начин. Започваме в момент от време t равно на 0. Позицията е по вертикалната ос у, т.е. избираме у да бъде равно просто на позицията по оста х. Това е малко противоречиво, защото става дума за позиция в правоъгълна координатна система (двумерно пространство). А тук виждаме, че започва от вертикално направление, но наблюдаваме същия резултат. В момент от време t равно на 1, позицията достига до 3. Тогава слиза още по-надолу. В момент от време t равно на 2 позицията достига до 1. Тогава, променя посоката си... и ако изберем времето да е в секунди – в следващите няколко секунди отново се връща към позиция 5. Интересно нещо, върху което да размишляваме в контекста на математическия анализ, е каква е скоростта във всеки момент от време t? Може да си припомниш, че скоростта е производната на позицията. Нека го запиша. Ще мислим за скоростта като функция на времето. Може да разглеждаш скоростта като първата производна на позицията спрямо времето. х' от t ще бъде равно на следното. Ще приложим правилото за намиране производна на степен, и някои свойства на производните. Ако това не ти е познато, те насърчавам да го преговориш. Това обаче ще бъде равно на 3 по t на квадрат, минус 6 по t и след това плюс 0. Ще ограничим дефиниционното множество за t да е по-голямо от 0. Сега може да изобразим производната. Ще изглежда ето така. Нека да видим дали разбираме какво означава тази крива. Споменахме моменти от време t: една секунда, две секунди, три секунди. Започваме да се придвижваме наляво. Според приетото разбиране, ако се движим наляво, скоростта е отрицателна. А ако се движим надясно, скоростта е положителна. Може да видиш ето тук, че скоростта незабавно става все повече и повече отрицателна, докато не достигне до момент от време t равно на една секунда. След това остава отрицателна, но става все по-малко и по-малко отрицателна, докато времето не достигне две секунди. В момент от време две секунди скоростта става положителна. Това е разбираемо, защото в момент от време две секунди, скоростта променя своето направление, към посока надясно. Тогава, скоростта става все повече и повече отрицателна, повече и повече отрицателна, а след това променя посоката си и тръгва в тази посока. Виждаме го ето тук на графиката. Но едно нещо, което да имаш предвид, е, когато мислим за скоростта като функция на времето, то скоростта в дадена посока и абсолютна скорост на движение са две различни неща. Нека да го запиша ето тук. Абсолютната скорост на движение разглеждаме в едно измерение. Може да я разглеждаш като абсолютната стойност на скоростта в дадена посока като функция на времето, или големината на скоростта като функция на времето. В началото, въпреки че скоростта в дадена посока става все повече и повече отрицателна, то абсолютната скорост всъщност нараства. Ако скоростта нараства в посока наляво, тогава абсолютната скорост намалява. А след това абсолютната скорост нараства, когато се движим в посока надясно. Ще решим няколко примера, в които ще се задълбочим малко повече. Последната концепция, която ще разгледаме в настоящия урок, е идеята за ускорението. Може да разглеждаш ускорението като скорост на изменение на скоростта спрямо времето. Ускорението като функция на времето ще бъде равно на първата производна на скоростта спрямо времето. Ускорението е равно на втората производна на позицията спрямо времето. Ще бъде равно на производната на този израз. Отново ще приложим правилото за намиране производна на степен. Тук ще се получи 6 по t... прилагаме правилото за намиране производна на степен... минус 6. Отново ще ограничим дефиниционното множество. Може да изобразим и тази производна. Виждаме я ето тук. Това у е равно на ускорението като функция на времето. Може да видиш, че в момент от време t равно на 0, ускорението е силно отрицателно. Равно е на –6. След това става все по-малко и по-малко отрицателно. А след това ускорението всъщност става положително в момент от време t равно на 1. Има ли смисъл това, което получаваме? Е, частицата се придвижва ето така – едно, две, три. Може би ще кажеш: "Но, посоката не се променя, докато не достигнем до втората секунда." Запомни обаче, че след като достигнем първата секунда, скоростта в отрицателно направление става все по-малко отрицателна, което означава, че ускорението е положително. Ако това ти се струва объркващо, спри видеото и наистина помисли върху него. Ускорението е отрицателно, а след това положително, тогава отново продължава да е положително. Целта в настоящия урок е просто да схванеш логиката. В следващите няколко урока ще решим няколко практически примера, които ще ни помогнат да навлезем по-дълбоко в изучаване на движение и позиция. И в изучаването на движението, когато има и едно допълнително измерение.