Локална линеаризация

Нека да кажем, че ни интересува да определим приблизително на какво е равно квадратен корен от 4,36. Искаме да намерим приближение на това число и нямаме калкулатор под ръка. Един начин да мислиш за това, е, че знаем на колко е равно квадратен корен от 4. Знаем, че е равно на плюс 2. Квадратен корен от 4 е равно на плюс 2. Тогава корен от даденото число ще бъде равно на малко повече от 2. Но да кажем, че искаме да сме малко по-точни и това, което ще ти покажа в настоящия урок, е метод именно за това. Тоест за приблизително определяне стойността на функция, която е близка до известна ни вече стойност. Е, за какво става дума? Нека просто да си представим, че имаме дадена функция. Имаме функция f от х, която е равна на квадратен корен от х, което представлява същото като х на степен 1/2. Знаем на какво е равно f от 2. Знаем...Извинявай! Знаем, на какво е равно f от 4. Знаем, че f от 4 е равно на квадратен корен от 4, което ще бъде равно на 2, или квадратен корен от 4 е равно на плюс 2, а това, което искаме да определим, е на какво ще бъде равно f от 4,36. Това е просто друг начин да зададем точно същия въпрос, с който започнахме този урок. Нека да си представим дадената функция. Нека просто за секунда да си я представим. Ще начертая някакви оси. Това е моята ос у. Това е моята ос х и ще начертая y равно на f от х. Нека да предположим, че изглежда като нещо такова. y равно на f от х изглежда като нещо такова. Това е сравнително добре начертано. Добре, това, което начертах тук е y равно на f от х и знаем, че f от 4 е равно на 2. f от 4 е равно на 2, така че това се получава, когато х е равно на 4. Не съм начертал графиката мащабно, но надявам се, че е достатъчно ясно. Това ето тук ще бъде равно на 2. А това е f от 4. А това, което искаме да определим приблизително, е f от 4,36. Числото 4,36 може да се намира около... Точно около това място и искаме да определим приблизително съответната у стойност ето тук. Искаме да определим приблизително тази стойност. Точно ето тук се намира f от 4,36. Още веднъж, ние правим предположение, защото нямаме калкулатор под ръка. А как може да решим задачата като използваме това, което знаем за производните? Какво ще стане ако трябваше да намерим уравнението на допирателната към точката, която се намира точно ето тук? Уравнението на допирателната, когато х е равно на 4, като тук ще използваме линейно приближение, дефинирано за намиране на съседни стойности. Тази техника се нарича линейно приближение (локална линеаризация). Аз предлагам да намерим уравнението на тази допирателна. Нека да я наречем L от х. И сега може да използваме тази права като приближение и да изчислим стойността на функцията в точката 4,36. Надявам се, че това ще бъде малко по-лесно да го направим, отколкото да се опитваме да изчислим стойността ето тук. А как ще го направим? Един начин да мислиш за това е... Очевидно има много начини да се представи права, но един начин да мислиш за това е следният. L от х ще бъде равно на f от 4, което е равно на 2... L от х ще бъде равно на f от 4, плюс наклона в точката х равно на 4, което разбира се, е производната f' от 4, така че на това ще бъде равен наклонът на тази права L от х, или f' от 4. Нека да го изясня. Това ето тук е наклонът. Наклонът, когато х е равно на 4, т.е. това е наклонът на цялата линия, и следователно всяка точка от нея ще бъде равна на f от 4 плюс наклона, умножен по разстоянието от теб до точката х = 4. Следователно ще се получи по х минус 4. Нека само да потвърдим, че в това има логика. Когато поставим 4,36 тук, то всъщност... Нека да увелича изображението, така че нещата да се виждат малко по-ясно. Ако това е така... Нека да увелича изображението. Нека да начертая по-голям избрания участък. Ще се опитам да увелича ето този участък точно тук. И така, това е точката... Това е точката (4; f от 4) и ще начертаем правата L от х. Нека го направя. Това ето тук е L от х. Това е L от х. И нека да кажем следното... Точно ето тук се намира точката (4,36; f(4,36)) и начинът, по който ще определим тази стойност, е да намерим на какво е равна тази стойност ето тук. А на какво ще бъде равна тя? Тази точка тук ще бъде (4,36; L от 4,36). Тоест точка от правата, изчислена, когато х = 4,36. И на какво ще бъде равно това? На какво ще бъде равно това? Е, нека да видим. Нека просто да го изчислим. L от 4,36 ще бъде равно на f от 4... Тоест ще бъде равно на 2 плюс производната, т.е. наклонът на тази линия, плюс f' от 4 по х минус 4. И така, 4,36 минус 4, т.е. ще умножим по 0,36 и това има смисъл. Започваш в точката 2 и си казваш: моето изменение за х е равно на 4,36. Тогава моето изменение за у ще бъде равно на наклона, умножен по това изменение за х, за да получа тази стойност, т.е. за достигна ето тази стойност тук. Добре, нека да намерим... Нека да намерим на какво всъщност е равен ето този израз. За да направим това, трябва да намерим f' от 4, така че нека да се върнем тук. Ще се опитам да оставя този увеличен чертеж тук. Нека да видим... f' от х ще бъде равно на 1/2 по х на степен минус 1/2, просто прилагаме правилото за намиране производна на степен. Следователно f' от 4 е равно на 1/2 умножено по 4 на степен –1/2, което разбира се, е равно на 1/2 по 1/2. 4 на степен 1/2 е равно на 2. 4 на степен –1/2 ще бъде равно на 1/2. Тоест f' от 4 e равно на 1/4. Е, сега заслужаваме поздравление, защото L от 4,36 е равно на f от 4...Нека просто да го запиша по следния начин. f от 4 плюс f' от 4 плюс... О, защо избрах този цвят! Нека да го запиша в жълто. Плюс f' от 4, умножено... Умножено по 4,36. 4,36 Нека да запиша последния израз с друг цвят, за да се отличава. L от 4,36...Получава се по 4,36 минус 4...Минус 4. Всъщност, нека да направя всички числа 4 в един цвят, за да се вижда, че са едно и също нещо. И на какво ще бъде равен този израз? Определихме, че f от 4 е равно на плюс 2. f' от 4 вече е определено и ще го запиша в жълт цвят. Определихме, че е равно на 1/4, а този израз ето тук е равен на 0,36. Следователно всичко ще бъде равно на 2, плюс 1/4 по 0,36, което е равно на 0,09. И това ще бъде равно на 2,09. Това се получава за нашето приближение и така трябва да бъде, поне по начина, по който съм го изобразил. Малко по-високо от действителната стойност на квадратен корен от 4,36, но може да го запишем ето тук горе. Това ще бъде приблизително равно... Просто ще го запиша по следния начин. Квадратен корен... Ще го запиша ето тук долу. Може да заявим, че квадратен корен от 4,36, което е същото нещо като f от 4,36, ще бъде приблизително равно на 2,09. А сега нека да приемем, че сме намерили калкулатор и сме любопитни колко точно е нашето приближение. Нека да вземем един калкулатор. Искаме да намерим квадратен корен от 4,36 и получаваме 2,088. Следователно, ако закръглим до най-близките стотни, то ние сме получили много добро приближение. И както може да видим, на тази показателна графика ето тук, нашето приближение действително беше малко по-високо от истинската стойност.