Диференцируемост в точка: аналитично зададена функция (функцията не е диференцируема)

"Дали функцията, дадена по-долу, е непрекъсната или диференцируема в точката x = 1?" Функцията g е зададена като частично определена ето тук и след това ни предоставят един куп възможности. Непрекъсната, но недиференцируема. Диференцируема, но не непрекъсната. Непрекъсната и диференцируема. Нито непрекъсната, нито диференцируема. И, както винаги, спри видеото и виж дали можеш да решиш задачата самостоятелно. Нека да го направим стъпка по стъпка. Нека първо да помислим за непрекъснатостта. За да бъде функцията g непрекъсната в точката x = 1, това означава, че g(1) трябва да бъде равно на границата на g(x), когато x клони към 1. На какво ще бъде равно g(1)? Когато имаме g(1), попадаме в този интервал. (1 – 1)^2 ще бъде равно на нула. Ако можем да покажем, че границата от g(x), когато x клони към 1, е същата като g(1), което е равно на нула, то тогава знаем, че функцията е непрекъсната в тази точка. Нека да намерим лявата и дясна граници. Ако търсим лявата граница, а това е особено полезно, защото имаме тези различни интервали, когато се приближаваме от лявата или дясната страна. И така, x клони към 1 от лявата страна. Ще попаднем в този интервал тук, когато приближаваме от лявата страна и x e по-малко от 1. Това ще бъде същото като това нещо. Това е, на което е равно g(x), когато x е по-малко от 1 и се приближаваме отляво. Значи тази функция е дефинирана и е непрекъсната за всички реални числа. Следователно може просто да заместим 1 в израза на мястото на x, и ще получим, че това е равно на нула. Дотук добре. Нека да намерим и другата граница. Нека сега да се приближаваме от дясната страна. x клони към 1 от дясната страна. Сега попадаме в този интервал, където за g(x) е дадено, че ако се намираме отдясно на 1, то стойностите са по-големи или равни на 1, и функцията ще бъде (x – 1)^2. Още веднъж, (x – 1)^2 е дефинирана за всички реални числа. Това е непрекъсната функция за всички реални числа, така че може просто да заместим 1 в израза. Получаваш (1 – 1)^2. Това просто е нула отново, така че лявата и дясна граници са равни на нула и двете, което означава, че границата за g(x), когато x клони към 1, е равна на нула. Това е същата стойност като за g(1). Следователно всичко е наред с непрекъснатостта. Можем да изключим останалите възможности, които казват, че не е непрекъсната. Може да изключим тази и може да изключим тази точно ето тук. Нека сега да помислим за това дали функцията е диференцируема. Диференцируемост. Диференцируемост. Ще го запиша. Диференцируемост. Успях ли, нека да видя. Това е дълга дума. Диференцируемост. Добре! За да е непрекъсната функцията, какво следва да е изпълнено тук? Трябва да имаме дефинирана граница, когато x клони към 1, от f(x) минус f(1) върху... О, трябва да внимавам. Не е f, a е g. Следва да имаме дефинирана граница за g(x) – g(1) върху x – 1. Нека да се опитаме да изчислим тази граница за лявата и дясна страна, след което може да я опростим. Вече знаем, че g(1) е нула. Това просто ще бъде равно на нула. Следователно просто трябва да намерим границата, когато x клони към 1, от g(x) върху x – 1, или да проверим дали можем да намерим тази граница. Нека първо да помислим за границата, когато се приближаваме от лявата страна на g(x) върху x – 1. g(x) върху (x – 1). Когато се приближаваме от лявата страна, g(x) е равно на този израз ето тук. Може да го запишем. На мястото на g(x) може да запишем израза x – 1. x – 1 върху x – 1, и, когато x е различна стойност от 1, числителят и знаменателят ще бъдат равни. Изпълнено е, когато x не е равно на 1. x – 1 върху x – 1 просто ще бъде равно на 1. Следователно тази граница ще бъде 1. Ето че за тази функция се получи. Нека сега да помислим за границата, когато x клони към 1 от дясната страна на функцията g(x). Мога да запиша още веднъж g(x) – g(1), g(1) е просто равно на нула, така че ще го запиша като g(x) върху (x – 1). На какво е равно g(x) сега? Равно е на (x – 1)^2. На мястото на g(x), мога да запиша израза като (x – 1)^2 върху x – 1. За всяка стойност x, която е различна от 1, просто решаваме и намираме границата. Казахме, че приближаваме 1 от дясната страна. Е, този израз ето тук, в който имаш (x – 1)^2, разделено на (x – 1) просто ще се опрости до x – 1. (x – 1)^2, разделено на x – 1, ще бъде равно на x – 1. И тази граница, този израз тук, ще бъде непрекъснат и дефиниран със сигурност за всички стойности на x, които са различни от 1. Всъщност, нека... Преди беше записано ето това, (x – 1)^2 върху x – 1. Този израз ето тук, както казах, не е дефиниран, когато x е равно на 1, но е дефиниран за всяка стойност на x, която е различна от 1. А при границата, която търсим, x клони към 1. И ако искаме да опростим този израз, това просто ще бъде... Мисля, че достигнах до такъв резултат, но се уверявам, че го правя както трябва. Това е същият израз, както този, за който x не е равно на 1. Е, това обаче просто ще бъде равно на нула. Можем да изчислим кога x = 1 ето тук. Това ще бъде равно на нула. Забележи, получаваш различна граница за това определение на производната, когато търсим лява и дясна граница. И това има смисъл. Графиката ще изглежда като нещо... Имаме наклон 1, така че ще изглежда като нещо такова. И точно преди x да стане равно на 1, а стойността на функцията 0, изглежда като нещо такова. Изглежда по подобен начин. Следователно графиката е непрекъсната. Графиката със сигурност е непрекъсната, но наклонът, когато се приближаваме към тази точка, е 1. А наклонът, точно когато x нараства и се отдалечаваме от точката, е нула. Следователно функцията не е диференцируема в тази точка. Следователно функцията е непрекъсната, но не е диференцируема.