Пресмятане на граници на функции от графики

Имаме графиката на функцията у = f(x) и искаме да намерим границите ѝ в три различни точки. Както винаги, остави видеото на пауза и се опитай да ги намериш самостоятелно, преди да продължим. Сега, нека първо да помислим за границата на f(x), когато х клони към 6. Ще използвам по-видим цвят. Какво става, когато х се приближава към 6 от двете страни? Когато х клони към 6 отляво, т.е. идва от по-малките от 6 стойности, изглежда, че f(x) се приближава към 1. А когато го доближава отдясно, нашата функция f(x) отново изглежда, че доближава 1. За да съществува тази граница, функцията трябва да приближава едно и също число от двете страни: и отляво, и отдясно. Тук поне на графиката изглежда така, макар да не можем да сме сигурни, когато използваме графика. Тя е добро приближение и изглежда, че функцията приближава 1 от двете страни. Сега да видим втората граница. Границата на f(x), когато х клони към 4. Какво става, когато х клони към 4 отляво? Когато се приближаваме към 4 от лявата страна, изглежда, че стойността на нашата функция се приближава до 3. Запомни, че за дадена стойност на х може да съществува граница, дори когато самата функция не е определена в тази точка. В самата точка, където х е 4, функцията не е определена, но когато я приближаваме отляво, или когато стойността на х приближава 4 отляво, изглежда, че функцията f приближава стойността 3. А когато се приближаваме до х=4 отдясно, отново изглежда, че функцията се приближава до 3. От това, което можем да разберем от графиката тук, изглежда, че границата на f(x), когато х клони към 4, е 3, дори и самата функция да не е определена. Сега да помислим за границата, когато х клони към 2. Интересното е, че функцията е определена тук: f от 2 е равно на 2 и когато се доближаваме от ляво изглежда, че нашата функция се доближава до стойността 2, но когато се доближаваме откъм дясната страна, когато х се доближава към 2 от дясно, нашата функция се доближава все повече към 5. Тя не успява съвсем да достигне до 5, но когато вървим от 2,1 през 2,01 и 2,001 към 2 изглежда, че стойността на нашата функция се доближава все повече до 5. Така функцията се доближава до две различни стойности от лявата и от дясната страна, когато х клони към 2 от ляво и от дясно. Затова можем да кажем, че тази граница не съществува. Това е интересно. В първия случай функцията е определена за х=6 и границата е равна на стойността на функцията за х=6. Във втория случай функцията не е определена за х=4, но границата съществува. Тук функцията е определена за х=2, но границата не съществува, когато х клони към 2. Да опитаме с друга функция, за да видим още случаи за намиране на граници чрез графика. Тук имаме графиката на функцията y = g(x). Отново, остави видеото на пауза и се опитай да намериш тези граници чрез графиката. Първо търсим границата, когато х клони към 5. Когато х се приближава до 5 от лявата страна, изглежда функцията g(x) се приближава до тази стойност. Ще начертая права, която ни показва коя е стойността по оста у. А когато х доближава 5 от дясната страна, изглежда, че това е същата тази стойност. На око тази стойност изглежда около 0,4. Тази граница определено съществува на тази графика, макар и не толкова прецизна. Ще кажа, че тя е около 0,4. Тя може и да е 4,1 или дори 4,1456789, не можем да определим с точност, гледайки само графиката, но изглежда да е приблизително такава стойност. Сега да помислим за стойността на g(x), когато х клони към 7, да използваме същия начин. Какво става, когато се доближаваме от ляво, от по-малките от 7 стойности като 6,9 и 6,99 и дори 6,999? Изглежда, че стойността на нашата функция се доближава до 2 независимо, че самата функция е дефинирана за g(7) като 5. Когато се приближаваме от ляво, когато х приема стойности 6,9 и 6,99 и така нататък, изглежда, че стойността на нашата функция се доближава до 2, а когато х се доближава до 7 откъм дясната страна изглежда, че по същия начин функцията също се доближава до 2. Затова казвам, че границата е равна на 2. И тук имаме функция, която е определена за х=7 и съществува граница в тази точка, но g от 7 е различна от границата на функцията g(x) за х, клонящо към 7. Да видим и последната граница. Тя е границата при х, клонящо към 1. Ще използваме същия метод, отляво изглежда, че отиваме към безкрайност, когато х расте от 0,9 през 0,99 и 0,999 и дори 0,9999. Изглежда, че функцията расте неограничено към безкрайност и когато се доближаваме до тази точка отдясно. И в двете посоки функцията расте към безкрайност. Неформално някои биха казали, че функцията приближава безкрайност или нещо такова, но по формалното определение за граница, в този контекст тя е неопределена. Можем да кажем, че тази граница не съществува. Пиша: не съществува.