Равнинно движение (с интеграли)

Частица се движи в равнината xy с вектор на скоростта v(t) равен на този израз, и записано по този начин това означава просто, че х-компонентата на скоростта е функция от времето, 1/(t + 7), а у-компонентата на скоростта е функция от времето, t^4, в интервала t е по-голямо или равно на 0. При t = 1 частицата е в точката с координати (3; 4). Първият въпрос е колко е големината на преместването на частицата между t = 1 и t = 3. След това трябва да намерим позицията на частицата и да закръглим отговора до десетите. Както винаги препоръчвам да спреш видеото като смятам, че ще ти е нужен калкулатор за изчисленията, но препоръчвам да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Решавали сме такива задачи в едно измерение, а сега ще го направим в две измерения. Ключовият момент е да разбием задачата в двете съставящи я измерения. Значи трябва да намерим колко е преместването в посока х, колко е промяната на х, а после да намерим преместването във вертикална посока или промяната на у, като можем да използваме тези и питагоровата теорема, за да намерим размера на общото преместване. Също така, ако знаем промяната на х и промяната на у, просто ще добавим промяната на х към 3, и ще прибавим промяната на у към 4, за да намерим местоположението на частицата в t = 3. Да го направим. Промяната на х от t = 1 до t = 3 е равна на интеграл от функцията на скоростта в посока х, от t = 1 до t = 3, като в посока х имаме 1/(t + 7). Това е скоростта като функция от времето, (1/(t + 7))dt. На колко е равно това? Тук можем да интегрираме със заместване, което може да не ти е познато, но може би можеш да отгатнеш че производната на (t + 7) е просто 1, така че можем да представим това като 1 по 1/(t + 7). Сега просто намираме примитивната функция спрямо (t + 7). Това е натурален логаритъм от абсолютната стойност на t + 7. Ще изчислим това за 3 и после ще извадим от полученото сметнатото за 1. Значи това ще бъде натурален логаритъм от абсолютната стойност на 10, което е просто натурален логаритъм от 10. Минус натурален логаритъм от абсолютната стойност на 8, което е просто натурален логаритъм от 8, което е равно на натурален логаритъм от 10/8, използваме свойствата на логаритмите, което е равно на натурален логаритъм от 1,25. Сега ще взема калкулатора и за секунди ще го изчисля. Всъщност, нека... Ще направя това след секунда, а преди това ще намерим колко е промяната на у. Промяната на у, отново, взимаме интеграл от 1 до 3. Това е периодът, за който търсим промяната, а каква е у-компонентата на скоростта? Тя е (t^4)dt. Това е равно на... Използваме правилото за производна от степен наобратно, t^5/5 за t = 1 и за t = 3. Значи това е 3^5 върху 5, което е 243/5, минус 1^5/5, става минус 1/5, което е равно на 242/5, което е колко? 48,4 Сега ще взема калкулатора, за да сметна натурален логаритъм от 1,25. 1,25, натурален логаритъм, закръгляваме до втория знак след десетичната запетая, това е приблизително 0,22. Намерихме промяната на х и промяната на у, и оттук вече можем да отговорим на втората част на въпроса. Какво е местоположението при t = 3? То е равно на позицията при t = 1, след което към всеки компонент прибавяме съответната промяна, значи прибавяме... Това е 3 плюс промяната на х от t = 1 до t = 3. Това ще бъде 4 плюс промяната на у. Това ще бъде равно на 3 плюс промяната на х. Това става приблизително 3,22. 4 плюс промяната на у става 52,4. Това тук е 52,4, но все още не сме отговорили на първия въпрос. Колко е преместването? Трябва да използваме питагоровата теорема. Ще скицирам грубо какво се случва. Често е полезно да се визуализира. Началното местоположение е (3; 4). Значи се намираме ето тук. Намерихме, че промяната в х не е голяма. Промяната на х е +0,22. Значи имаме незначително преместване в тази посока, а промяната на у е 48,4. Това е драматична промяна. Тя излиза от графиката в тази посока, но ако искаме да ги съберем, за да съберем тези вектори, можем да преместим промяната по у ето тук и после да намерим хипотенузата. Дължината на хипотенузата е равна на големината на цялото преместване. Да го сметнем. Големината на преместването ще бъде корен квадратен от квадрата на промяната на х плюс квадрата на промяната на у. Това е просто питагоровата теорема. И колко е това? Отново си взимам калкулатора. Това е промяната по х. Ще я повдигна на квадрат, а после ще добавя 48,4 на квадрат, е равно на ето това. Сега коренуваме, корен квадратен от този резултат, и това е равно на... Да видим дали... Ето го, и сме готови. Големината на цялото преместване е 48, ако го закръглим до първия знак след запетаята, 48,4. Това е приблизително 48,4. И сме готови. Може би забеляза, че изглежда общото преместване е същото като промяната на у. Причината да получим това, е, че промяната на у беше точно 48,4, докато големината на преместването е малко повече от 48,4. Но когато закръглихме до десетите, получихме 48,4. Причината да са толкова близки, е това, че х е толкова малко. Става въпрос за промяна на х, равна на 0,22. Промяната на у е много повече, така че хипотенузата е само малко по-дълга от промяната на у и затова получаваме такъв резултат в този конкретен случай. Принципно големината на преместването е по-голяма и от двете – и от промяната на х, и от промяната на у.