Частни решения на диференциални уравнения: рационална функция

Дадено е, че f(2) = 12; f'(х) = 24/х^3 и трябва да намерим колко е f(–1). Значи ни дават производната спрямо х. Вероятно можем да намерим примитивната функция на тази производна, за да намерим оригиналната функция. Да го направим. Можем да кажем, че f(х) е равно на примитивната функция, или на неопределен интеграл от f'(х), който е равен на 24/х^3 Мога да го запиша така: 24/х^3. За да го преработя още малко, ще го запиша като 24х^(–3), защото това ще ми покаже как да намеря примитивната функция. по dx. Каква е примитивната функция на 24х^(–3) Просто прилагаме наобратно правилото за намиране на производна от степен. Сега ние просто ще увеличим степенния показател. Ще го преработя. Ще стане 24 по х на степен... увеличаваме степенния показател с единица, и става 2х^(–3 + 1), което после делим на увеличения степенен показател. Минус три плюс едно, това ще бъде: минус три плюс едно и става х на степен минус две, след което делим на –2, и ако не разбираш какво направих току-що, това просто е правилото за производна на степен наобратно. Ако търсим производната, като използваме правилото за степените, –2 по 24 върху –2, това става 24, а после намаляваме степенния показател, и получаваме –3. Готови ли сме, това f(х) ли е? f(х) може да съдържа и константа. Затова ще поставя една константа тук, защото ако ние намираме производната на това тук, производната на 24х^(–2) върху –2, ние вече установихме, че е 24х^(–3). Но ако намираме производна от константа, тя просто ще изчезне. Така че няма да я видим в производната. Затова трябва да се подсигурим, че тук може да има константа, и аз имам чувството от това, което ни е дадено, че тази константа може да ни е полезна. Затова ще препиша f(х). Знаем, че f(х) може да се изрази като 24/–2. Това е –12х^(–2) плюс някаква константа. Как ще намерим тази константа? Казват ни, че f(2) е равно на 12. Ще го запиша. f(2) е равно на 12, което е равно на... ще заместя с 2 навсякъде, където има х. Тук ще бъде –2, по –2^(–2) + с. Значи 12 е равно на – колко е това – 2^(–2). 2^(–2) = 1/2^2, което е равно на 1/4. Значи получаваме –12 по 1/4. –12 по 1/4 е равно на –3. Значи –3 + с. Сега можем да добавим 3 от двете страни, за да намерим с. Получаваме 15 = с. Значи с е равно на 15. Това е равно на 15. И сега можем да запишем f(х), получаваме f(х) е равно на –12, даже мога да го напиша като –12/х^2, ако искаме, може и така. –12/х^2 + 15. Като използваме този израз, можем да намерим f(–1). f(–1). Всички х заместваме с –1. Тук ще бъде –1 на квадрат. Значи f(–1) = 12 делено... –12/(–1)^2 –1 на квадрат е просто 1. Значи става –12 + 15, което е равно на 3 и сме готови. Това е равно на 3.