Проверка на решения на диференциални уравнения

Ще напиша едно диференциално уравнение: производната на у спрямо х е равна на 4у върху х. В това видео ще покажа, че решението на едно диференциално уравнение не е стойност или набор от стойности. То е функция или набор от функции. Но преди реално да опитаме да го решим, или да намерим всички решения, нека да проверим дали определени равенства или функции са решения на това диференциално уравнение. Например, ако имам у = 4х, дали това е решение на това диференциално уравнение? Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно. За да проверим дали това е решение, трябва да намерим производната на у по отношение на х и да видим дали наистина е равна на 4у/х. Ще се опитам да изразя всичко чрез х, за да видя дали наистина имаме равенство. Първо да намерим производната на у спрямо х. Това ще бъде равно на четири. Правили сме го много пъти досега. За да направим проверка, трябва четири, производната на у спрямо х да е равно на 4 по у, но нека да заместим у с 4х. Ще изразя всичко чрез х. Значи е равно на 4х... вместо 4у записвам четири пъти по 4х, цялото върху х. Вярно ли е това? Това х се съкращава с това и получавам: 4 е равно на 16, което очевидно не е вярно. Значи това не е решение. Не е решение на нашето диференциално уравнение. Сега да видим друго уравнение. Например у = х^4. Постави на пауза и опитай да провериш дали това е решение на нашето първоначално диференциално уравнение. Ще направим същото нещо. Коя е производната на у спрямо х? Това е равно на – използваме правилото за производна на степен – равно е на 4х на трета степен. За да проверим това, дали това 4х^3, това е производната на у спрямо х, е равно на 4у, навсякъде изразявам у чрез х, значи е равно на 4х^4, защото х^4 е равно на у, делено на х? Да видим, х^4 делено на х, това става равно на х^3. Значи получаваме 4х^3 е равно на 4х^3. Значи това е решение. Това е решение. Не е задължително да е единственото решение, но е решение на диференциалното уравнение. Да видим друго диференциално уравнение. Да кажем, че имаме... Ще го запиша по различен начин: f'(х) = f(х) – х. Първата функция, която искам да проверя – да кажем, че имам f(х) = 2х. Това решение ли е на това диференциално уравнение? Спри видеото отново и провери самостоятелно. За да се установи това, трябва да намерим колко е f'(х). f'(х) просто е равно на 2. И сега проверяваме има ли равенство. Дали 2 е равно на f'(х), когато f'(х) е равно на f(х) - х при f'(х) = 2х, , когато f'(х) е равно на 2х – х. Да видим, ще получим, че 2 е равно на х. Тук може да се изкушиш да кажеш, че сме намерили х или нещо такова. Но това не е решение, защото трябва да е вярно за всяко х, което е в дефиниционното множество на тази функция. Затова просто ще сложа тук един кръст, или ще напиша неправилно, това не е решение. Искам да поясня отново, за да бъде една функция решение на диференциалното уравнение, това трябва да е вярно за всяко х, което заместваме във функцията. Да видим друго уравнение. Нека да е f(х) = х + 1. Спри видеото и провери дали това е решение на това диференциално уравнение. Същият метод. f'(х) ще бъде равно на 1. И трябва да проверим дали f'(х) = 1, е равно на f'(х), когато f'(х) = f(x) - x, при f(x) = х + 1, т.е. когато f'(х) = х + 1 – х. Тук, независимо каква е стойността на х, това равенство е изпълнено. Значи това е решение. Това е решение. Хайде да видим още няколко примера. Ще превъртя малко надолу, за да има повече място, но искам все още да се вижда първото диференциално уравнение. Да проверим дали... ще използвам червено, да проверим дали f(х) равно на (е^х) + х + 1 е решение на това диференциално уравнение. Спри отново видеото и провери самостоятелно. Добре, да намерим производната тук. f'(х) ще бъде равно на – производната на е^х спрямо х е равна на е^х, което мен винаги ме изумява. След това + 1 (производната на х), а производната на 1 спрямо х е просто 0. Сега да заместим в първоначалното диференциално уравнение. Така, f'(х) = е^х + 1. Това равно ли е на f(х), когато f'(х) = f(x) - х при f(x) = е^х + х + 1, т.е. когато f'(x) = е^х + х + 1 – х? Този х се унищожава с този х, и се вижда, че те са равни. Значи това също е решение. Това също е решение. Готови сме.