Запознаване с формулата за дължина на дъга

Използвахме определени интеграли за намиране на площ. Сега искам да видим дали можем да използваме определен интеграл, за да намерим дължина на крива. Какво имам предвид? Ако започнем от тази част на графиката на функцията, и ако отидем до тази точка ето тук, това не е права линия, ние знаем дължината на разстоянието по права линия, но ако искаме да намерим разстоянието по протежение на кривата. Ако сложим конец върху кривата, колко ще бъде разстоянието от тук до тук? Ето това имам предвид под дължина на крива. Тук можем да кажем, че ще бъде от х = а до х = b по самата крива. Как да го направим? Единият начин е интегриране. Интегралното смятане ни казва, че когато видим нещо, което се променя по този начин, ние можем да го разделим на безкрайно малки части. Безкрайно малки части, които можем приблизително да оприличим на отсечки или правоъгълници и после можем да намерим сбора на безкрайно голям брой такива безкрайно малки части. Хайде да раздробим тази дължина на кривата. Да я разделим на безкрайно малки части от дължината на кривата. Ще нарека всяко от тези безкрайно малки парченца от дължината на кривата, предполагам, че мога да ги нарека дължина към диференциал, ще ги означа с ds. Ще нарисувам това по-едро, когато обясня какво е диференциал, за да можеш да го виждаш. Какво имам предвид под раздробяване на такива ds? Ако това е ds, ще направя другите в различни цветове, това е друго безкрайно малко парченце от дължината на кривата. Друга безкрайно малка промяна в дължината на кривата. Ако събера всички тези ds, ще получа дължината на кривата. Дължината на кривата ще бъде интеграл от всички тези ds, сумирани в границите на интеграла, което можем да запишем ето така. Но това още не ми помага. Това е по отношение на диференциала от дължината на кривата. Ние знаем как да работим с dy и dx. Да видим как можем да изразим това чрез dx и dy. Ако увеличим това много пъти, можем да използваме приближение. Това тук ще бъде права. По същия начин приблизително определяхме площи отначало. Но ако имаме безкраен брой безкрайно малки правоъгълници, тогава можем да изчислим приблизително област, която не е правоъгълна. Площта на област, която не е правоъгълна. Подобно, ние имаме прави линии, които са безкрайно малки и имаме безкрайно голям брой от тях, като така намираме дължината на кривата. Да се фокусираме върху тази права за момента. Това разстояние тук ще се опитам да изразя чрез dy и dx. Това разстояние тук е dx. Това е безкрайно малка промяна на х, а това разстояние тук е dу. Аз знам добре какво да правя с тези диференциали. Но искам да добиеш представа, това не е доказателство, просто ти давам логиката откъде идва формулата за дължината на крива. Въз основа на това можеш да видиш, че ds е изразено чрез питагоровата теорема като равно на dx^2 + dy^2. което можем да преработим като корен квадратен от (dx^2 + dy^2). Това можем да го преработим. Това е равно на интеграл от, но вместо ds, ще запиша това като квадратен корен от (dx^2 + dy^2). Това следва директно от питагоровата теорема. И сега започва да става интересно. Представихме го чрез dx и dy, но те са на квадрат. Те са под знак за корен. Как да опростим това? Или поне да го напишем така, че да можем да го интегрираме. Тук мога да изнеса пред скоби dx^2, само да препиша това. Това ще бъде равно на интеграл от квадратен корен. Ще изнеса пред скоби dx^2, dx^2 по (1 + dy^2/dx^2). Обърни внимание, че тези двете са равни. Ако умножа по dx^2, ще получа отново този израз. И сега мога да изнеса dx от знака за корен. Това ще е равно на интеграл от... ще го запиша с бяло: интеграл от 1 + (dy/dx)^2. Това е интересно, защото ние знаем какво представлява dy/dx. Това е производната на функцията, (dy/dx)^2. Ако изнесем dx^2 извън знака за корен, корен квадратен от dx^2 е просто dx. Това е просто dx. И сега става още по-интересно, защото знаем как да решим това между две граници. Можем да решим определен интеграл от а до b. Сега интегрираме куп dx-ове, или интегрираме спрямо х. Можем да кажем: "х е равно на а и х е равно на b". Хайде да съберем произведението на този израз и dx, а това е важно. Това е формулата за дължината на равнинна крива. Изглежда сложна. В следващото видео ще видим, че всъщност тя много лесно се използва, макар понякога сметките да стават сложни. Ако искаш да запишеш това по малко по-различен начин, можеш да запишеш, че това е равно на интеграл от а до b, ат x = a до x = b от корен квадратен от 1 плюс... вместо dy, dx, мога да запиша тук (f'(x)^2)dx. Така че ако знаеш колко е f(х), намираш производната спрямо (х^2 + 1), коренуваш и после умножаваш, и след това намираш определен интеграл от това спрямо х в интервала от а до b. Ще го направим в следващото видео.