Средна стойност на функция в затворен интервал

В това видео искам да разгледаме понятието средна стойност на функция в някакъв затворен интервал. Какво означава това и как да разберем какво означава средна стойност на функция. Нека това да е оста у, а това тук е оста х. Ще начертая графиката на една функция, нека да изглежда нещо такова. Това е графика на у = f(х). Сега да видим един затворен интервал, затвореният интервал между а и b, включително а и b, защото той е затворен, когато включва крайните точки ето тук. Значи между х = а и х = b, коя е средната стойност на тази функция? Един начин е да видим каква е средната височина на тази функция, но какво означава това? Единият начин е да я разглеждаме като някаква височина, така че ако умножа по широчината на този интервал, ще получим площта под кривата. Другият начин е да разгледаме площта под кривата ето тук... ще използвам различен цвят. Значи площта под кривата ето тук, където ще щриховам в жълто. Вече знаем, че можем да представим това като определен интеграл от а до b от f(х)dх, средната стойност на нашата функция в този затворен интервал – ще го запиша тук –в затворения интервал между а и b, включително а и b, която можем да си представим като някаква височина. Ще означа с нов цвят – някаква стойност на функцията, някаква височина, може би някаква височина ето тук, като, ако умножим тази височина по тази широчина, ще получим лице на правоъгълник. Лицето на този правоъгълник, който ще има същото лице като площта под кривата, което е логичен начин, ако успееш да запомниш как можеш да намираш лице, или ако разглеждаш лице на трапец, можеш да умножиш, ако имаш трапец като този, можеш един вид да си го представиш обърнат на 90 градуса, и умножаваш височината по средната широчина на трапеца, което ти дава лицето. Така че това би била средна широчина, в един трапец като този, което е точно по средата. Тази функция не е линейна, така че не е задължително да е по средата, но идеята е същата. Как можем да използваме това, тази височина ето тук? Можем да наречем това средна стойност на функцията. Как можем да използваме това, за да изведем формула за средната стойност на функция в затворен интервал? Да изразим математически това, което вече казахме, че средната стойност на тази функция ще бъде някаква височина. Да кажем, че средната стойност на функцията е – ако тя е някаква височина, и ако я умножим по широчината на този интервал ето тук, широчината на интервала е по-голямата стойност минус по-малката. Значи това ще бъде b – а, така че средната стойност на функцията по широчината на интервала ще ни даде площ, еквивалентна на площта под кривата. Това ще бъде равно на определен интеграл от а до b от f(х)dх. Ако знаем всички други неща, ще можем да изчислим средната стойност на функцията, като разделим двете страни на (b – а). Средната стойност на функцията е... разделяме двете страни на (b – а). Получаваме 1/(b – а) по определен интеграл определен интеграл от а до b от f(х) dх. Друг начин да го разгледаме е, че за да разберем каква е площта под кривата в този интервал, трябва да разделим на широчината и ще получим търсената средна стойност на функцията, или средната височина. Искам да ти припомня, че не е необходимо да запомняш всичко това наизуст, важно е да разбираш какво точно означава "под кривата" разделено на широчината. Това ще даде средната височина, средната стойност на функцията. В следващото видео ние ще използваме тази формула, за да можем направо да изчисляваме определени интервали.