Метод на кръговете – ротация на графиката на функцията около оста х

Тук съм начертал част от графиката на функцията у = x^2. Сега ще използваме нашите знания за определените интеграли, за да намираме обеми, а не само площ. Да преговорим какво правим, когато имаме един определен интеграл. Нека да имаме определен интеграл между, да кажем между 0 и 2 от x^2dх, какво представлява това? Тези изглеждат като крайни точки. Това е х = 0. Това тук е х = 2. За всяка стойност на х ние намираме едно малко dх, около него, така че тук имаме малко dх. И умножаваме това dх по нашата функция, по х^2. Значи тук умножаваме тази широчина по тази височина ето тук. Височината тук е х^2. И получаваме площта на този малък правоъгълник. Знакът за интеграл просто означава, че събираме всички тези малки правоъгълници за всички хиксове между х = 0 и х = 2. Но това dх клони към нула, то е безкрайно малко, но то не е равно на 0. И имаме безкрайно много такива. Това е целият смисъл на определения интеграл. Можеш да си представиш, че когато dх стават все по-малки и по-малки, тези правоъгълници стават все по-тесни и по-тесни, и имаме все повече от тях, тогава получаваме все по-точни и по-точни резултати за площта под кривата, между тези граници, получаваме площта под кривата. Сега ще приложим същата идея, но не да намираме площта под крива, а ще намерим обем, ако завъртим тази крива около оста х. Това е изпитание за уменията да го визуализираме. Да си представим какво се случва, когато завъртим това около оста х. Ако го завъртим и ако го гледаме малко отдясно, тогава основата ще изглежда горе-долу така. Ще дам всичко от себе си да го начертая. Значи основата изглежда горе-долу така. И после останалата част от функцията, ако я разгледаме между 0 и 2, прилича на сплескана фигурка от игра, сигурно си играл на играта "Не се сърди човече", това изглежда малко като странна шапка. Изглежда горе-долу така и сега малко ще оцветя, значи изглежда като това. Искам да съм сигурен, че си представяш как това нещо се върти тук. Интересува ни обема на цялото това нещо. Ще го нарисувам от няколко други гледни точки. Ако го гледаме отгоре, ще изглежда ето така. Ще стане по-ясно, че прилича на шапка. Сочи нагоре ето така, и отива надолу ето така. Ще прилича на нещо такова. От този ъгъл не виждаме дъното. И ако се ориентираш, в този случай осите изглеждат ето така. Това е оста у. Оста х влиза вътре в това нещо и после излиза от другата страна. Ако това е прозрачно, ще можеш да видиш задната му страна. Ще изглежда ето така. Оста х, ако можеш да виждаш през него, ще излиза от основата ето тук, ще минава през основата точно ето тук. И ще излиза от другата страна. Това са различни ориентации за едно и също нещо. Можеш да си го представиш от различни гледни точки. Сега да видим как да сметнем обема. Вместо да разглеждаме обема на всички тези правоъгълници, какво ще стане ако завъртим всеки от тези правоъгълници около оста х? Да го направим. Да вземем всеки един от тях. Да кажем, че тук имам dх, и го въртим около оста х. Ако завъртим това около оста х... Много се старая... въртим го около оста х, Какво ще получим? Получаваме нещо, което изглежда като монета, като диск, като някаква монета. Ще го нарисувам. Това е някакъв диск, който изглежда така. И има дебелина dх. Как да намерим обема на този диск? Ще го пречертая тук. Много е важно да си представим нещата правилно. Това е оста х. Нашият диск изглежда ето така. Оста х минава ето така. Излиза от центъра. Това е повърхността на диска. Това тук е дебелината dх. Това стана много добре. Само ще оцветя малко, за да му придам повече дълбочина. Как да намерим обема на това? Като всеки диск или цилиндър, трябва да намерим площта на това лице и после да го умножим по дебелината. Колко е площта на основата? Лицето на кръг е равно на π по квадрата на радиуса. Ако знаем радиуса на тази основа, можем да намерим лицето ѝ. Колко е този радиус? Радиусът е просто височината на първоначалния правоъгълник. За всяка стойност на х ето тук, той ще бъде равен на f(х). В този случай f(х) е х^2. Значи радиусът е равен на х^2. Площта на основата за дадена стойност на х ще бъде равна на π по (f(х^2))^2. Тук f(х) е равно на х^2. А колко е обемът? Обемът е равен на площта по дебелината. Ще бъде равен на това по дебелината, т.е. по dх. Значи обемът на това нещо ето тук е... само на тази "монета", ако можем да кажем така, ще бъде равно на... Обемът ще е равен на площта по dх, което е равно на π(х^2)^2. Това е равно на – х^2 на квадрат е х на четвърта степен, значи πх^4dх. Този израз тук, това е обемът само на един от тези дискове. Но ние търсим обема на цялата тази "шапка", на цялата тази фуния, или на цялата тази фуния на тромпет. Как ще го намерим? Чрез същия метод. Какво ще стане, ако съберем всички тези неща? Да го направим, да съберем всички тези обеми. Ще продължа с един цвят – πх^4dх. Ще съберем всички тези обеми от х = 0 до х = 2. Това са границите, с които започнахме. Определих ги произволно. Можем да вземем всеки две стойности на х между х = 0 и х = 2. И ще съберем обемите на всички тези "монети". Но границата... когато дебелината става все по-малка, и дисковете стават все повече и повече, в границата, всъщност ще получим обема на нашия конус или фуния, или както искаш го наречи. Така че просто изчисляваме определен интеграл и получаваме обема. Да видим дали можем да го направим. Просто взимаме определен интеграл. Това ще бъде равно – насърчавам те да опиташ първо самостоятелно да го решиш. Значи можем да изнесем пи. Това ще бъде равно на пи по интеграл от 0 до 2 от х^4dх. Този цвят не ми харесва. Примитивната функция на х^4 е х^5 върху 5. Това е равно на π по х^5/5 Това е от 0 до 2. Това е равно на π по това, изчислено за х = 2. 2^3 е равно на 8. 2^4 е 16. 2^5 е – нека да го запиша. 2^5 върху 5 минус 0^5 върху 5. Това е равно на – 2 на пета степен е 32, така че става π по 32/5 минус – това е просто 0 – минус 0, което е 32π/5. И сме готови. Успяхме да намерим обема на това странно тяло.