Използване на метода на кръговете при въртене на графиката на функцията около хоризонтална права

Това е графиката на функцията у е равно на квадратен корен от х. Сега ще създадем тяло, но няма да я завъртим около оста х или около оста у. Вместо това ще я завъртим около някаква друга произволна права. В този случай ще я завъртя около правата у = 1. Нека това да е правата у = 1. Ще извършим ротация около тази права у = 1. Най-напред искам да визуализираме това, което правим. Интересува ни интервалът. Да кажем, че интервалът е между тази точка ето тук, където двете функции се пресичат, и да кажем до х = 4. Да кажем, че това е ето тук, значи това е х = 4. Това е точно ето тук. Това е интервалът, в който извършваме ротацията. Ротация около правата у = 1, а не около оста х. Как ще изглежда нашето тяло? Ще го завъртим ето така. Ще го завъртим ето така. И нашето тяло ще изглежда, предполагам, че можем да кажем, че е почти като конус, ако го гледаме от тази страна, или нещо като куршум, но не съвсем. Ще бъде тяло, което изглежда горе-долу така. Надявам се, че можеш да си го представиш. Вече го правихме няколко пъти, когато показвахме такива тела. Сега да помислим как можем да намерим обема на това ротационно тяло. Да го разгледаме диск след диск. Тук ще направя един диск. Правихме това вече много, много пъти, когато намирахме обемите на тези дискове. След това ще вземем тези обеми за всяка стойност на х в нашия интервал, и после ще сумираме обемите на всички дискове, за да намерим обема на тялото. Ще ги съберем всичките, ще ги поставим един до друг, и ще намерим обема на цялото тяло. За да намерим обема на всеки диск, просто трябва да намерим площта на тази повърхност. Всичко това в цикламено. Само трябва да намерим площта и да я умножим по дебелината. Колко е лицето на тази повърхност? То е π по радиуса на квадрат. Какъв е радиусът на тази повърхност? То не е просто квадратен корен от х. Квадратен корен от х е разстоянието между оста х и нашата функция. Сега то е квадратен корен от х – 1. Това разстояние ето тук. Квадратен корен от х – 1 за всяко дадено х в интервала. Това ще бъде равно на... ще използвам същия оранжев цвят, за да стане ясно откъде идва това. Това е равно на квадратен корен от х – 1. Това е нашата функция минус правата, около която въртим. Това ни дава радиуса. Това ни дава площта на всяко от лицата. И само ги умножаваме по дебелината. Дебелината, разбира се, е dx. Правили сме го много пъти. Значи по dх. Това е което искаме да сумираме в нашия интервал. А интервалът – да видим – от тази точка ето тук, в която корен квадратен от х е равен на 1, значи това е просто х = 1. Тук х е равно на 1. И искаме до тук, където х = 4. Това е краят на интервала. Значи това е до х е равно на... само трябва да внимавам. Това тук е оста х. Чак до х = 4. Може да стане объркване. Това е оста х. Тръгваме от х = 1 до х = 4. Търсим тази площ, можем да кажем така, между квадратен корен от х и 1 и завъртаме около у = 1. Получаваме тези малки дискове ето тук. Значи интервалът е между 1 и 4. Така получаваме обема на ротационното тяло. И сега просто трябва да изчислим определения интеграл. Хайде да го направим. Това ще бъде равно на интеграл от 1 до 4. Можем да изнесем пред... изнасяме π извън знака за интеграл. След това можем да разкрием тези скоби. Значи корен квадратен от х^2. Сега ще развием този двучлен, така че става корен квадратен от х – 1 по квадратен корен от х – 1. Корен квадратен от х по корен квадратен от х е просто х. Корен квадратен от х по –1 е минус корен кавдратен от х. –1 по квадратен корен от х. Тук има още един отрицателен корен квадратен от х. Минус едно по минус едно е равно на +1. Значи тази част ето тук се опростява до х – 2 квадратен корен от х. Това е –2 по квадратен корен от х. И после имаме +1. Всичко това е умножено по dх. Това ще бъде равно на... да сложа нашето π тук – примитивната функция на ето това. Примитивната функция на х е (х^2)/2. Значи минус 2 по примитивната функция на корен квадратен от х. Корен квадратен от х е просто х на степен 1/2. Увеличаваме степенния показател с 1. Получаваме х на степен 3/2 по 2/3. Значи по 2/3. Можем да кажем, че е 2/3(х)^3/2. Нека да го поясня. Това –2 е това –2. Този израз ето тук е примитивната функция на квадратен корен от х. И можем да направим проверка. Производната на това, 3/2 по 2/3 е равно на 1. Намаляваме 3/2 и получаваме 1/2. Сега да намерим примитивната функция на 1. Тя е равна на х. Сега ще я пресметнем за 1 и за 4. Почти стигнахме до финала. Това ще бъде равно на π по... първо да сметнем за 4. Имаме 4 на квадрат – ще го запиша. 4 на квадрат върху 2 минус... което е 4^3... първо ще направя това. Значи минус 4/3. Знам, че е 4 на степен 3/2; като 4 на степен 1/2 е 2, после го повдигам на трета степен и получавам 8. Значи по 8 плюс 4. И после изваждаме от всичко това, изчислено за 1. 1 на квадрат върху 2, това е просто –1/2. И сега вадим това. Всъщност не искам да прескачам толкова много стъпки. Значи ще получим следното. Това е, когато го сметнахме за 4. И после ще извадим това, сметнато това цялото за 1. Когато го сметнем за 1... Ще използвам зелен цвят. Това не е зеленото, което искам. Когато го сметнем за 1, получаваме 1^2 върху 2, което е 1/2. И после получаваме 1 на степен 3/2, което е просто 1. Значи това става –4/3. И после имаме +1. Да го опростим. Ще използвам един и същ цвят. Това е равно на π по... 4 на квадрат върху 2, това е 16/2, което е равно на 8. После имаме 4 по 8, което е 32, върху 3. Значи 32/3 + 4. И после имаме –1/2... разкриваме скобите и сменяме знаците... плюс 4/3, после –1. И сега само трябва да съберем тези дроби и да опростим. И какво получаваме? Това е равно на π по... да видим, най-малкото общо кратно изглежда е 6. Значи ще приведем към общ знаменател 6. 8 става 48/6. 32/3 става 64/6, значи минус 64/6. 4 е равно на 24/6. 1/2 е равно на 3/6, значи това е –3/6, което е –1/2. 4/3 е равно на 8/6. Накрая –1 става –6/6. Сега ще използваме малко аритметика. Когато вадим 64 от 48, получаваме –16. Нали така? Получаваме –16. После прибавяме 24 към –16, получаваме +8. +8 минус 3 е равно на 5. 5 плюс 8 е 13. 13 минус 6 е равно на 7. Целият числител се опростява до 7. Получихме, че обемът е равен на 7π/6. Само да проверя дали го направих вярно. Това тук е –16. Получаваме +8 плюс +8 е +16. 16 минус 9 е 7, разбира се. Получихме 7π/6 и сме готови. Намерихме обема на това малко конусоподобно тяло.