Определени интеграли: правило за интегриране на степенна функция

Нека да изчислим определения интеграл от –3 до 5 от 4, dx. На какво ще бъде равен? Насърчавам те да спреш видеото и да се опиташ да отговориш самостоятелно. Добре, за да го изчислим, трябва да си припомним фундаменталната теорема на анализа, която свързва понятията определен интеграл и примитивната функция. Фундаменталната теорема на анализа гласи, че определеният интеграл от a до b, f от x, dx, ще бъде равен на примитивната функция от функцията f, която означаваме с главно F, изчислена за горната си граница минус примитивната функция, изчислена за долната граница. Следователно просто следва да приложим това за този интеграл. Това ще бъде равно на следното. Каква е примитивната функция на 4? Може би незабавно ще кажеш, че това ще бъде 4х. Може да приложиш правилата за намиране на примитивната функция. 4 е същото като 4 пъти х на нулева степен. Увеличаваме нулата с единица. Тогава ще получим 4 пъти х на първа степен. След това разделяме на стойността на новата степен. 4 пъти х на първа степен, разделено на 1. Това ще бъде равно на 4х. Следователно примитивната функция е равна на 4х. Може да кажем, че това е голямо F от х, и ще го изчислим в точките 5 и минус 3. Ще намерим разликата между тези две стойности. Какво имаме ето тук? Изчисляваме примитивната функция за горната граница. Това ще бъде равно на 4 по 5, а от това следва да извадим изчислената примитивна функция за долната граница. Това е 4 по минус 3. 4 по минус 3. И на какво ще бъде равно това? Това е равно на 20 минус –12. Тук ще получим плюс 12 и всичко ще бъде равно на 32. Нека решим още един пример. Отново ще използваме правилото за определяне на примитивната функция. Нека да кажем, че искаме да намерим неопределения, т.е. определения интеграл, в интервала от минус 1 до 3, от 7 х квадрат, dx. На какво ще бъде равно това? Това, което искаме да направим, е да изчислим примитивната функция на този израз. Ако това е равно на малко f от x, то искаме да намерим голямо F от x. Прилагаме правилото за намиране на примитивната функция и увеличаваме тази степен с единица. Тогава ще имаме 7 пъти х на трета, а след това разделяме това на увеличената степен. 7 пъти х на трета, разделено на 3. Искаме да изчислим този израз за нашата горна граница, а след това да извадим от него изчислената стойност за долната граница. Следователно това ще бъде равно на следното. Изчисляваме го за горната граница. Получава се 7 по 3 на трета... Просто ще го запиша като 3 на трета върху 3. След това от този израз ще извадим ето това голямо F от х, т.е. примитивната функция, изчислена за долната граница. Тогава това ще бъде равно на 7 пъти минус 1 на трета, цялото върху 3. Първият израз ще бъде равен на 7 по 3 на трета, върху 3. Това е 27 върху 3. Тогава това ще е същото като 7 върху 9. Този израз е равен на 63. А този тук, минус 1 на степен трета, е равен на минус 1. Изваждаме отрицателно число, а тогава ще се получи, че го прибавяме. Следователно тук ще бъде просто плюс 7 върху 3. Плюс 7 върху 3. Ако искаме да го представим като смесено число, 7 върху 3 е равно на 2 цяло и 1/3. Когато съберем всички изрази, ще получим 65 цяло и 1/3. И сме готови.