Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли

Нека да имаме дадена една функция f, която е непрекъсната в интервала между c и d. Ще използвам c и d вместо a и b, за да запазя a и b за по-късно. И нека да дефинираме една функция голямо F от х, която дефинира площта под кривата между c и някаква стойност х, където х е в този интервал, където f e непрекъсната. Това е площта под кривата и между с и х. Това тук е х. Площта е под кривата f от t, dt. Това ето тук, F от х, е тази площ. Тази площ тук е F от х. Фундаменталната теорема на анализа гласи, че ако f е непрекъсната в този интервал, то F от х е диференцируема за всяка точка х в този интервал. И производната на главно F от х... Нека да го изясня. Главно F от х е диференцируема за всяка възможна стойност на х в интервала от c до d, а производната на главно F от х ще бъде равна на малко f от х. Дотук добре. В настоящия урок искам да направя връзка между фундаменталната теорема на анализа и нейната втора част, или втората фундаментална теорема на анализа, която използваме, за да изчисляваме определени интеграли. Нека да помислим на какво е равно F от b минус F от a, като a и b също са в този интервал. Ще предположим, че b е по-голямо от а. Да кажем, че b е това число тук. Ще го запиша със същия цвят. Нека да кажем, че b е ето тук. F от b ще бъде равно на... Просто заместихме b там, където имаме х. Ще бъде равно на определен интеграл между c и b, f от t, dt, което е още един начин да представим площта под кривата между c и b. Това е F от b, главно F от b, т.е. цялата тази площ ето тук. И от нея искаме да извадим главно F от a, което е просто интегралът между c и a, от малко f от t, dt. Нека кажем, че това тук е числото а. Главно F от а всъщност е ето тази площ между с и а под кривата малко f от t. Тоест тази площ ето тук. Цялата тази площ тук. Какво ще се получи, ако имаш цялата тази площ, т.е. ето това, и извадиш от нея тази лилава площ? Какво остава като резултат? Остава ето тази зелена площ тук. А как да я представим? Как да опишем тази площ? Може да я означим като определен интеграл между a и b, f от t, dt. Ето, че го направихме. Това тук е втората фундаментална теорема на анализа. Тя гласи, че ако f е непрекъсната в този интервал, то този интеграл ще бъде равен на примитивната функция на малко f. И ето тук виждаме, че главно F е примитивната функция на малко f. Може да запишем, че главно F е примитивната функция – точно така дефинирахме главно F. Или всъщност не сме я дефинирали по този начин, но фундаменталната теорема на анализа ни казва, че главно F е примитивната функция на малко f. Тоест изразът тук гласи, че ако имаш определен интеграл като този, то той е абсолютно еквивалентен на примитивната си функция, изчислена за b, и от това вадим изчислената ѝ стойност за a. Обикновено изглежда по следния начин. Просто размених реда. Определен интеграл от a до b, f от t, dt е равно на примитивната функция от f, т.е. главно F, изчислено в точка b, и от това изваждаме примитивната функция, изчислена в точка а. Ето това е втората част от фундаменталната теорема на анализа или втората фундаментална теорема на анализа. Тя е основната част на курса по интегрално смятане, защото е начинът, по който наистина се изчисляват определени интеграли.