Въведение в интегралното смятане

Дадена ни е една крива, която представя y като функция на x, т.е. y = f(x). Това е една класическа задача, над която математиците дълго са размишлявали. Как да намерим площта под кривата? По-точно площта под кривата и над оста x, например, между две граници. Нека да изберем между x равно на a и х равно на b. Нека да означим тези граници ето тук. Това е нашата лява граница. Това е нашата дясна граница. Ще разгледаме тази площ тук. И без да използваме математическия анализ бихме могли да получим все по-добри и по-добри приближения за площта. Как можем да го направим? Може да разделим този интервал на множество нараствания делта x, които се намират между a и b. Можем да разделим този интервал на равни части или на неравни части, но нека да изберем за целите на онагледяването, да направя приблизително равни части тук. И така, това е първата. Това е втората част. Това е третата част. Това е четвъртата. Това е петата. Ето тук се намира шестата част. За всяка една от тези части тази ширина ето тук е делта x. Нека да означим това разстояние с делта x1. Това е делта x2. Това разстояние точно тук е делта х3 и така до последния, за който това е делта х n. Ще опитам да бъда внимателен тук. Сега можем да се опитаме да сумираме площта на правоъгълниците, получени тук. Бихме могли да покажем височината, може би да я начертаем спрямо стойността на функцията при дясната граница. Не е задължително да е тази стойност. Би могла да бъде стойността на функцията в произволна точка от това делта х. Това е едно възможно решение. Ще разгледаме това много по-задълбочено в следващите уроци. И така правим ето това. (чертае правоъгълници) Сега имаме приближение, за което бихме могли да кажем, че площта на всеки един от тези правоъгълници е f(x) с долен индекс i, където може би х с долен индекс i е дясната граница, както е означена, и умножено по делта х с индекс i. Това е всеки един от тези правоъгълници. И тогава може да ги съберем, и това би ни дало приближение на площта. Но, доколкото използваме крайно число, бихме могли да кажем, че винаги може да изчислим площта още по-добре, избирайки интервалите делта х да са по-малки, и по този начин ще имаме повече от тези правоъгълници, или като стигнем до случай, в който започваме от i = 1 до i равно на n. Това, което се случва, е, че основата делта х на тези правоъгълници става все по-тясна и по-тясна, а техният брой n става все по-голям и по-голям, като делта х става безкрайно малка величина, а броят n се доближава до безкрайност. Може би вече се досещаш, т.е. че може да разгледаме границата, ако се изразим така, когато n клони към безкрайност, или границата за делта х, което става много, много, много, много малка стойност. И това понятие за получаване на по-добри и по-добри приближения, когато намираме границата при n клонящо към безкрайност, е сърцевината на интегралното смятане. Нарича се интегрално смятане заради основната операция, която се използва, т.е. сумирането на безкраен брой от безкрайно малки и тесни неща, което е един начин да се онагледи, и това представлява интегралът – в този случай от a до b. Ще учим това в много по-голяма дълбочина, но в този случай това е определен интеграл от f(x), или f(x), dx Но тук вече могат да се открият съответствия. Знакът за интеграл може да бъде разглеждан и като знакът сигма, като знак за сума, но вместо намиране на сумата на краен брой елементи, при интеграла се намира сумата на безкраен брой, безкрайно брой от безкрайно малки неща. Вместо делта x, сега имаме dx, безкрайно малки елементи. И това е знакът за интеграл. Това ето тук е интеграл. Това, което го прави интересен за висшата математика, е употребата на това понятие за граница, но това, което го прави дори още по-значим, е, че е свързан с понятието за производна, която е едно от онези красиви неща в математиката. При фундаменталната теорема на математическия анализ ще забележим, че интегрирането, понятието интеграл е тясно свързано с понятието производна, а всъщност и с понятието примитивна функция. В диференциалното смятане разглеждахме задача от вида: дадена е функция, която можем да диференцираме и да намерим производната на тази функция. При интегралното смятане най-често правим следното: ако е дадена производната, можем ли да намерим начин чрез интегриране да намерим нейната примитивна функция, или функцията, чиято производна ни е дадена. Както ще видим, всички тези действия са свързани. Идеята за намиране на площ под крива, идеята за граница, за сумиране на безкраен брой от безкрайно малки елементи, понятието примитивна функция, всички те ще бъдат с нас в нашето пътуване в интегралното смятане.