Интегриране с елементарни дроби

Имаме задача да намерим стойността на този неопределен интеграл. Тук може да се запиташ дали числителят е производна или е кратно на производната на знаменателя. В този случай интегрирането чрез заместване би било приложимо. Но случаят не е такъв. Тогава какво да направим? Моята насока към теб е да разложиш тази дроб. Може да ти напомни за въведението в математическия анализ или за часовете по алгебра. Има обаче техника за разлагане на този рационален израз на сума от два рационални израза. Добра насока тук е фактът, че даденият знаменател е произведение от тези два израза. Това, което следва да направим, е да разложим това като елементарни дроби. Може да изразим х минус 5 върху 2 по х минус 3, по х минус 1 като сума от два рационални израза. Знаменателят на първия рационален израз, е 2 по х минус 3, а знаменателят на втория рационален израз, е х минус 1. Не е нужно да поставям скоби. Не знаем какви са числителите. Може би го знаеш отпреди, но те насърчавам, ако това е първият път, когато се срещаш с разлагането на елементарни дроби, да потърсиш информация в Кан Академия. Имаме доста уроци по темата. Основният принцип тук е степента на числителя да е с единица по-ниска от степента на знаменателя. Знаменателите тук са от първа степен, така че числителите ще бъдат от нулева степен или просто константи. Ще бъдат някакви неизвестни константи. Нека първата да е A. А втората да е B. Целта ни е да намерим A и B. Дотук всичко е преговор. Това не е анализ. Това е от въвеждащия курс по математически анализ или алгебра. Как ще намерим A и B? Нека да ги съберем така, както събираме две дроби с различни знаменатели. Искаме да приведем към общ знаменател. Искаме да умножим първия рационален израз по х минус 1 в числител и знаменател. Този числител тогава е A по х минус 1 върху 2 по х минус 3, по х минус 1. При втория рационален израз, ще умножим числителя и знаменателя по 2 по х минус 3. Тогава имаме 2 по х минус 3, по B, върху 2 по х минус 3, по х минус 1. Сега имат еднакви знаменатели и мога да ги събера. Целта е, когато ги събера, да разгледам числителя и да се запитам как A и B са свързани с числителя, който имаме тук? Тогава тук се получава общ знаменател 2 по х минус 3, по х минус 1. В числителя имаме следното. Всъщност, нека го направя ето тук. Това е същото като A по х минус А. Просто разкривам скобите. Ако разкрия скобите и тук с B, се получава същото като 2 по B по х, минус 3 по B. Ако съберем числителите, може да ги изразим чрез х. A по х плюс 2 по B по х може да представим като А плюс 2 по B по х. След това събираме тези константи: минус А и минус 3 по B. Ето тук имам минус 5, така че ще го използвам като насока и образец. Тогава тук имаме минус... ще го запиша като минус А плюс 3 по B. Ако разкрием скобите и умножим, ще получим минус А и минус 3 по B. Тоест тези два израза са еквивалентни. Сега може да видим образеца. Сега знаменателите са еднакви. Тогава този израз в числителя ще бъде равен на х минус 5. Следователно коефициентът тук пред х трябва да е равен на 1. А този израз, който изваждаме, следва да е равен на 5. Тогава ще съставим система от две уравнения с две неизвестни, за да намерим A и B. Нека го запиша. Знаем следното. A плюс 2 по B е равно на 1. А знаем, че А плюс 3 по B следва да е равно на 5. Може да намерим A и B чрез събиране и елиминиране на неизвестно. Нека умножим първото уравнение по минус 1. Получава се минус А, минус 2 по B, минус 1 и събираме двете. Целта беше да се унищожи неизвестното А. Остава минус 2 по B плюс 3 по B, което е равно на B, а това е равно на 4. Сега може да заместим обратно и да намерим А. Нека използваме ето това уравнение. Знаем, че А плюс 3 по 4, т.е. 12 – от това уравнение тук – ще бъде равно на 5. Изваждаме 12 от двете страни и получаваме А е равно на –7. Сега може да преобразуваме целия интеграл. Може да кажем, че това ще бъде равно на неопределен интеграл от А върху 2 по х минус 3. Знаем, че А е равно на минус 7, т.е. имаме минус 7 върху 2 по х минус 3, а сега ще следва плюс В, което е 4, т.е. плюс 4 върху х минус 1. Затварям скобите и по dx. Ако имаш желание, насърчавам те да спреш видеото и да се опиташ да довършиш задачата. Познаваме техники за решение на интеграли като този преди, но ще го направя стъпка по стъпка. Това ще бъде равно на следното. Ще бъде равно на същото като интеграл от 2 по х минус 3. Мога да запиша минус 7 тук, но е константа и ще я изнеса пред интеграла. Поставям минус 7 тук. Тук има 1 в числител. За да е по-лесно за решение, би било удобно тук да е числото 2. А защо ли? Защото 2 е производната на 2 по х минус 3. Тогава може да използваме интегриране чрез заместване, което понякога се упражняваме да разпознаваме. Искаме тук да има числото 2. Не може само да умножим по 2. Също така следва да разделим на 2. Изнасям отпред 2 като константа. Производна от х минус 1 е равна на 1. Тогава искаме тук да има 1 в числител. Изнасяме 4 пред интеграла. 4 по интеграл от 1 върху х минус 1, dx. Тук ще се получи следното. Имаме минус 7/2 отпред. Имаме този знаменател и производната му в числител. Тогава може да разглеждаме задачата като интегриране спрямо израза в знаменателя. Може да го разглеждаш като интегриране чрез заместване, което няма подробно да записвам тук, като обратна операция на верижното правило. Примитивната функция на 1/х е натурален логаритъм от абсолютната стойност на х. Примитивната функция на първия израз е натурален логаритъм от абсолютната стойност на 2 по х минус 3. За втората част се получава плюс 4 по примитивната функция на израза. Натурален логаритъм от абсолютната стойност на х минус 1. Припомням, че мога да направя това, защото производната от х минус 1 е равна на 1. Разбира се, поради това, че решаваме неопределен интеграл, не искаме да забравяме константата С. И сме готови!