Преобразуване преди интегриране: задача с повишена трудност

Целта на настоящия урок е да намерим примитивната функция на този сложно изглеждащ израз. С други думи, да изчислим неопределения интеграл от този сложен израз. Основното нещо, което да разбереш тук, е, че този израз е съставен от множество членове. Тогава неопределеният интеграл от целия израз ще бъде равен на неопределен интеграл от всеки един от членовете. Следователно този израз ще се преобразува на следното. Търсим неопределен интеграл от първия член или 7 пъти х на трета, dx. От него може да извадим неопределения интеграл от втория член. Може да кажем, че това е минус неопределен интеграл от 5 пъти квадратен корен от х dx. След това имаме този член тук. Може просто да запишем плюс неопределен интеграл от 18 пъти квадратен корен от х. Квадратен корен от х, върху х на трета, dx. И накрая... Свършват ми цветовете. Нуждая се от повече цветове за тази задача. Може да намерим примитивната функция на този член. Плюс примитивната функция на х на степен минус 40, dx. Просто представих ето така горния израз с различни цветове. Нека сега намерим примитивните функции на всеки от тези членове. И ще видиш, че ще бъдем в състояние да го направим, като използваме, ако мога да се изразя така, да използваме наобратно правилото за намиране производна на степен. Може да го наречеш както прецениш. Нека да разгледаме първия интеграл. Това, което искам да направя, е просто да намеря примитивната функция без константа, и да прибавя константата накрая. За целите на задачата. Просто да се уверя, че имаме примитивната функция в общ вид. Тук степента е 3. Увеличаваме я с единица. Получаваме х на четвърта. Нека да го запиша със същия лилав цвят. Ще бъде равно на х на четвърта и ще го разделим на 4. х^4/4 е примитивната функция на х^3. И просто имаме ето този множител 7 отпред. Имаме това 7 отпред, така че получаваме 7 пъти х^4/4. Дотук добре. От този израз ще извадим примитивната функция на този. Сега, на пръв поглед може да не е очевидно, че може да използваме наобратно правилото за намиране производна на степен. Трябва обаче просто да се сетиш, че 5 пъти квадратен корен от х, е същото нещо като 5 пъти х на степен 1/2. Тук отново степента е 1/2. Увеличаваме я с единица. Ще се получи х на степен 3/2. След това разделяме това на стойността на получената степен. Тоест, разделяме на 3/2. И, разбира се, имаме това число 5 отпред. Тогава, искаме да запазим това 5 отпред. Следващият израз изглежда дори още по-смахнат. Отново обаче можем да го опростим малко. Това е същото нещо – нека да го запиша ето тук – същото нещо като 18 пъти х на степен 1/2, по х на степен минус трета. х на трета в знаменателя е същото като х на минус трета в числителя. Имаме еднакви основи, т.е. може просто да съберем степените. Тогава това ще бъде равно на 18 пъти х на степен 2 и 1/2. Казано с други думи, това е същото като 18 пъти х на степен 5/2. Правилно ли го пресметнах? Да. Минус 3... О, извинявай, това е минус 2 1/2! Нека да го изясня по-добре. Това ще бъде на степен –5/2. х на минус трета е същото като х на степен минус 6/2. Минус 6/2 плюс 1/2 е минус 5/2. И отново, просто увеличаваме степента с единица. Минус 5/2 плюс 1 ще бъде равно на минус 3/2. Тогава ще имаме х на степен минус 3/2. След това разделяме на получената степен, след като сме прибавили единица. Тоест разделяме на минус 3/2. Сега имаме това 18 отпред. Очевидно трябва да опростим този член. Накрая имаме този член. Нека да избера различен от лилаво цвят. Степента в този член е минус 40. Ако я увеличим с едно, ще получим х на степен минус 39. Всичко това е върху минус 39. И сега вече може да прибавим една константа C. И всичко, което искаме да направим сега, е да опростим целия този израз. Първият член е горе-долу добре. Може да го запишем като 7/4 пъти х на четвърта. Този член ето тук е всъщност минус 5, разделено на 3/2. 5 върху 3/2, е равно на 5 пъти 2/3, което е равно на 10/3. Тогава този член се опростява до минус 10/3 пъти х на степен 3/2. След това следва ето тази щуротия. Имаме 18, разделено на минус 3/2, което е равно на 18 по минус 2/3. Което е равно на следното. Нека го опростим. Същото е като 6 пъти по минус 2, което е равно на минус 12. Следователно този израз тук е равен на минус 12 пъти х на степен минус 3/2. Накрая следва ето този член. Може просто да го представим като –1/39 по х на степен –39, и прибавяме константа С. И сме готови! Намерихме неопределеният интеграл от целия този сложен израз. Насърчавам те да намериш производната на получения израз, като може да приложиш правилото за намиране производна на степен, за да го направиш. Това е начин да се увериш, че наистина е равен на този израз, чиято примитивна функция намерихме.