Критерий на Лайбниц за алтернативни редове

Днес ще те запозная с друг критерий за сходимост, критерий на Лайбниц за редове с алтернативно сменящи се знаци (алтернативни редове). Ще обясня критерия на Лайбниц и ще го приложим за действителен ред, за да направим критерия на Лайбниц за алтернативни редове малко по-конкретен. Да кажем че имам някакъв ред, някакъв безкраен ред. Да кажем, че имаме сума от a_n за n от k до безкрайност. Мога да го напиша като... или мога да преработя a_n. Нека a_n, мога да напиша... a_n е равно на (–1)^n, по b_n. a_n = (–1)^(n + 1) по b_n. Тук b_n е по-голямо или равно на нула за всички n, които ни интересуват. За всички n, които са цели числа, по-големи или равни на k. Ако всички тези условия са изпълнени, и знаем още две неща, знаем, че: първо, границата на b_n е нула за n, клонящо към безкрайност. Второ, b_n е намаляващ ред. Това ни позволява да знаем, че първоначалният безкраен ред ще бъде сходящ. Това може да изглежда малко абстрактно за момента. Нека да приложим това за един реален ред, за да стане малко по-конкретно. Да кажем, че имам реда... нека е редът ((–1)^n)/n за n от 1 до безкрайност. Можем да разпишем членовете на този ред, за да е по-конкретно. Когато n е равно на 1, това ще бъде –1 на първа степен. Всъщност, ще го направя малко по-интересно. Нека да бъде (–1)^(n + 1). Когато n е равно на 1, това ще бъде –1 на квадрат върху 1, което е 1. Когато n е 2, това ще стане –1 на 3 степен, което ще стане равно на –1/2. Това е – 1/2 + 1/3, минус 1/4, плюс, минус, продължават да се редуват до безкрайност. Можем да представим това като a_n ето така. (–1)^(n + 1) е очевидно. Можем да го преработим като a_n... Значи a_n, което е равно на –1, на степен (n + 1)/n. Това е очевидно същото като –1 на степен (n + 1) по 1/n, за което можем да кажем, че това нещо тук е нашето b_n. Това тук е b_n. Можем да проверим, че нашето b_n е по-голямо или равно на нула за всяко n, което ни интересува. Значи нашето b_n е равно на 1/n. Очевидно това ще бъде по-голямо или равно на 0 за всяко положително n. Каква е границата? Когато b_n... Каква е границата за b_n, когато n клони към безкрайност? Границата на 1/n, ...само да запиша, когато n клони към безкрайност, ще бъде равна на нула. Значи първото условие е изпълнено. Това очевидно е намаляващ ред, защото, когато n нараства, знаменателят нараства. Колкото по-голям е знаменателят, толкова по-малка е стойността. Можем да кажем също, че 1/n намалява, това е намаляващ ред за стойностите на n, които ни интересуват. Това условие също е изпълнено. Въз основа на това, това нещо тук винаги ще е по-голямо или равно на нула. Границата на 1/n или на b_n, за n, клонящо към безкрайност, е нула. Това е намаляващ ред. Затова можем да кажем, че първоначалният ред реално е сходящ. Значи ((–1)^n + 1)/n за n от 1 до безкрайност. Това е доста интересно. Защото вече видяхме, че ако всички тези са положителни, това е просто един хармоничен ред, който не е сходящ. Но този е, когато включим тези отрицателни членове. Всъщност можем да докажем, че този тук е сходящ, като използваме друг начин. Ако имаме време, можем да използваме по-конкретно граничната форма на критерия за сравнение. Просто го споменавам, ако ти е любопитно. Това е много мощен инструмент. Малко напомня на необходимото условие за сходимост, но спомни си, че то може да покаже само, че нещо е разходящо. Ако границата на членовете не клони към нула, можеш да кажеш, че това нещо е разходимо. Това нещо е полезно, защото можем реално да докажем сходимост. Отново, ако нещо не отговаря на критерия на Лайбниц за алтернативни редове, това не означава задължително, че е разходящо. Означава просто, че с помощта на критерия на Лайбниц не можем да докажем, че е сходящо.