Критерий за сходимост чрез сравнение

Искам да ти дам обща представа за критерия за сравнение, когато опитваме да определим дали един ред е сходящ или е разходящ. Да вземем два реда. Да кажем, че имаме този ред в цикламен цвят. Това е безкраен ред от a_n за n от 1 до безкрайност. Тук ще разглеждаме общия случай. Сега да вземем още един ред. Това е редът b_n за n от 1 до безкрайност. Дадени са ни някои неща за тези редове. Първото е, че всички членове на тези редове са неотрицателни. Значи a_n и b_n са по-големи или равни на нула, което означава, че те са или разходящи към плюс безкрайност, или са сходящи към някаква крайна стойност. Те няма да се колебаят, защото тук няма отрицателни стойности. Не клонят към минус безкрайност, защото няма отрицателни стойности. Да кажем, че знаем също, че всеки от съответните членове в първия ред е по-малък или равен на съответния член от втория ред. По-малък или равен на b_n. Това важи за всички n, които ни интересуват. n е равно на 1, 2, 3 и така нататък. Критерият за сравнение ни казва, че понеже всички съответни членове на този ред са по-малки от съответните членове тук, но са по-големи от нула, че ако този ред е сходящ, редът, който е по-голям, ако този е сходящ, тогава и този, който е по-малък от него, предполагам, че можем да кажем, че е ограничен от този ред, той също трябва да е сходящ. Няма да го доказвам тук, но се надявам, че ще видиш логиката. Критерият за сравнение ни казва, че ако, поне аз така разсъждавам, по-големият ред, този, чиито съответни членове са по-големи от тези тук, ако този ред е сходящ, ако този ред не клони към безкрайност, ако сумата му е някакво крайно число, тогава този критерий ни казва, че по някакъв начин по-малкият ред също е сходящ. Значи този ред тук също трябва да е сходящ. Този ред трябва да е сходящ. Защо това ни е полезно? Ще разберем в следващите видеа. Ако разглеждаш това a_n и си казваш: "Искам да докажа, че този ред е сходящ, имам предчувствие, че е сходящ." Тогава критерият за сравнение ни казва, че просто трябва да намерим друг ред, чиито съответни членове са поне равни на съответните членове тук, и ако можем да докажем, че той е сходящ, тогава това важи и за този ред. Това важи само в случаи, когато членовете на оригиналния ред са неотрицателни. А дали това важи наобратно? Ако можем да докажем, че редът в цикламено, по-малкият, може би трябва да сложа кавички, по-малкият ред, всеки съответен член на който е по-малък, дали можем да докажем, че той е разходящ? Ако този е разходящ, той клони към безкрайност. Но няма да клони към минус безкрайност. Всички членове са положителни и той няма да е разходящ, ако се колебае между две стойности. Когато се колебае между две стойности, единственият начин това да стане, е ако имаме отрицателни членове, тогава редът ще клони към безкрайност. Ако този няма граница, всеки от тези съответни членове е по-голям, тогава за този ред също няма да има граница. Ще го запиша. Критерият за сравнение ни казва, че ако по-малкият ред е разходящ, ако този е разходящ, тогава по-големият ред също трябва да е разходящ. Отново, ако искаш да докажеш това, това тук ще е рязходящо, повтарям, ако знаеш, че всички b_n са по-големи или равни на нула, и искаш да докажеш, че това е разходящо, може би трябва да намериш друг ред, всеки съответен член на който е по-малък от съответстващия му член тук и можеш да докажеш, че е разходящ, тогава имаш резултат. Ще започнем да прилагаме това в следващите клипове.