Функция като сума на геометричен ред

От нас искат да развием функцията f(х) в степенен ред, като ни е дадено, че f(х) = 6/(1 + х^3) Понеже искат от нас да развием тази функция в степенен ред, може да кажеш: "Просто ще използвам ред на Маклорен, защото редовете на Маклорен са най-простите за намиране, тъй като са центрирани около нула." И веднага може да решиш да сметнеш функцията за нула, да определиш производната ѝ за нула, втората производна за 0 и така нататък. После можем да използваме формулата за ред на Маклорен, за да развием това. Но много скоро ще се натъкнеш на препятствия, понеже първата производна, когато смяташ функцията f за х = 0, това е много лесно. Изчисляването на първата производна е много лесно. Но при втората производна и третата производна нещата бързо се променят. Може да опростиш, като кажеш: ще намеря ред на Маклорен за f(u) = 6/(1 + u), където полагаме u = х^3. Намираш развитието по Маклорен по отношение на u, и после го заместваш с x^3. Така става малко по-лесно, така че това е друг начин. Но най-лесният начин е да кажеш: "Знаеш ли, това тук, този рационален израз, изглежда подобно на сума на геометрична прогресия." Да си припомним само как изглежда сума на геометрична прогресия. Ако имам а + аr, където а е първият член, а r е частното, плюс... ще умножа отново по r, плюс а(r)^2, плюс a(r)^3, и продължаваме така до безкрайност. Знаем, че това е равно на а, на първия член, върху 1 минус частното, и това просто е формулата за сумата на безкрайна геометрична прогресия. Обърни внимание какво имаме тук, f(х), определението за f(х) и сумата на геометричната прогресия изглеждат много сходно. Ако кажем, че това тук е а, значи а = 6. Ако –r е равно на x^3, само ще преработя това. Мога да представя знаменателя като 1 – (–x^3). И сега може да кажеш: "Добре, r може да е равно на –x^3." И така можем да го развием. Ако а е равно на 6, ако r е равно на –х^3, тогава можем да представим функцията f(х) като геометричен ред, което е много лесно. Да го направим. Ще го направя с този хубав розов цвят. Първият член ще бъде 6, плюс 6 по частното, 6 по –х^3. Ще го напиша като –6x^3, а после ще умножим по –x^3 отново. Това ще стане, ако умножа това по –x^3, това ще бъде +6x^6. И после това ще го умножа по –6x^3, значи става –6x^9, и продължавам така още и още. Значи това става... и после продължава, умножавам го по –x^3, ще получа 6x^12. И продължаваме така до безкрайност. Основното тук е, това е развитие на ред на Маклорен за f(х), но основното е да избегнем всичко това и да видим, че начинът, по който е дефинирана функцията, прилича много на сума на геометрична прогресия. Тя може да се приеме като сума на геометрична прогресия, и можем да използваме това, за да намерим развитието на степенния ред на нашата функция. Това е много, много полезен трик.