Интегрален критерий за сходимост/ интегрален критерий на Коши

Нека да изследваме безкраен ред от n = 1 до n безкрайност с общ член 1/n^2. Което е равно на 1 плюс 1/4, това е 1/1^2, плюс 1/2^2, плюс 1/3^2, което е 1/9, плюс 1/16, и така до безкрайност. Тук има няколко неща, които трябва да знаем. Първото е, че всички членове са положителни. Всички членове са положителни. Всички членове са положителни и намаляващи. Изглежда, че те намаляват доста бързо, от 1 до 1/4, до 1/9 и до 1/16, те бързо се приближават до нула, което ни дава увереност, че това е много вероятно да е сходящо. И понеже те всички са положителни, тази сума тук горе, ако тя е сходяща, тя ще е по-голяма от нула. Единствената причина да не е сходяща, е ако тя няма крайна граница, докато n клони към безкрайност. Така че това е възможно. Ако покажем, че това има граница, ще получим много добър аргумент за това, че редът е сходящ, защото единствената причина да е разходящ, е границата да клони към плюс безкрайност или към минус безкрайност. Знаем, че това няма да клони към минус безкрайност, защото всички членове са положителни. Може да е разходящо, ако се колебае около някаква стойност, но то няма да се колебае, защото всички членове се прибавят към сумата, никой от тях не изваждаме, защото няма отрицателни членове. Да видим дали можем да се аргументираме добре защо тази сума тук има граница, особено ако намерим тази граница, това е добро доказателство, че че този безкраен ред е сходящ. Ще направим това, като изследваме една свързана функция. Искам да изследвам f(x) = 1/x^2. Можеш да разглеждаш това тук 1/n^2 като функцията f(n), ако я напиша по този начин. Защо това е интересно? Нека да начертаем графиката на функцията. Това е графиката на y = f(x). Забележи, че това е непрекъсната, положителна, намаляваща функция, особено в интервала, който ни интересува ето тук. Предполагам, че можем да кажем, че за положителните стойности на х функцията е непрекъсната, положителна и намаляваща. Интересно е, че можем да използваме това като за приблизителна оценка на тази площ ето тук. Какво имам предвид? Първият член ето тук, можем да го разглеждаме като площта на този участък ето тук. Това е f(n) или може да кажем f от височина 1 и широчина 1, така че това ще бъде 1 по 1 върху 1 на квадрат, или 1. Ще използвам различни цветове. Този член ето тук, това може да представлява площта на този участък, който има височина 1/4, широчина 1 и следователно площ 1/4. Какво представлява това? Площта на следващия участък, ако се опитваме да определим приблизително площта под нашата крива. Това може да ти се струва познато, когато за пръв път се запознахме с интегралите, или даже преди интегралите, когато правихме Риманови суми. Така че това тук, тази площ, ще бъде равна на 1/9. Интересното тук е, че знаем как да намерим точната площ или точната площ от 1 до безкрайност за х от 1 до безкрайност. Може би това ще ни помогне някак. Знаем колко е тази площ ето тук, което можем да представим като несобствен интеграл от 1 до безкрайност от f(x) dx. Знаем какво е това и аз ще го реша. Ако знаем колко е това, тогава можем да определим стойността, която ще бъде горна граница за 1/4 плюс 1/9 плюс 1/16 и т.н. Това ще ни позволи практически да свържем тази стойност с това, което представя този ред, и както казах по-рано, това ще е много добър довод, че той е сходящ. Идеята е, че няма да правя подробно доказателство, а само ще ти представя идеята, теоретичната представа за това популярно изследване за сходимост или разходимост, което се нарича интегрален критерий на Коши. Ще го запиша, за да знаеш каква е основата на това. Какво имам предвид? Ще запиша отново тази сума, но малко по-различно. Оригиналният ред е от n = 1 до безкрайност от 1/n^2. Това е равно на първия блок, площта на този първи блок, плюс площта на всички останали блокове, 1/4 плюс + 1/9 + 1/16... ще използвам нов цвят. Това можем да запишем като сума от n = 2 до безкрайност от 1/n^2. Просто го представих като сума от този член плюс всичко това нататък. Интересното тук е, че това, което написах току-що в синьо, това е този блок плюс този блок, плюс следващия блок, което ще е по-малко от този определен интеграл ето тук. Това е определен интеграл, тази сума винаги е по-малка, винаги е под кривата, така че това ще е по-малко от този определен интеграл. Можем да напишем, че това ще е по-малко от 1 + , и вместо да пиша това, ще напиша определен интеграл. Едно плюс определен интеграл от 1 до безкрайност от 1/x^2 dx. С какво ни помага това? Знаем как да изчислим това и те насърчавам да преговориш раздела в Кан Академия за несобствени интеграли, ако ти се струва непознато, а аз ще го сметна тук. Знаем, че това е равно на границата, тук ще въведа една променлива, t клони към безкрайност, от определен интеграл от 1 до t, от... и аз просто ще напиша, това като х^(2) dx. Което е равно на границата, когато t клони към безкрайност, от –x на степен –1, или всъщност мога да го напиша като –1/х. Ще изчислим това за t и за 1, което е равно на границата, когато t клони към безкрайност, от –1/t и после минус –1/1, което е просто +1. Когато t клони към безкрайност, този член тук ще бъде нула, така че можем да опростим като 1. Цялото това нещо е 1. И ето така можахме да поставим горна граница на този безкраен ред. Можахме да кажем, че интересуващият ни ред безкрайната сума от 1/n^2 за n от 1 до безкрайност ще бъде по-малко от 1 + 1, т.е. ще е по-малка от 2. Друг начин да го разглеждаме е, че ще бъде 2 в този участък, ето тук плюс този участък тук. Казваме, че тази сума ще бъде по-малка от 2, т.е. поставихме горна граница. Знаем, че няма да стигне до плюс безкрайност. Защото всички членове са положителни, тя определено няма да достигне до минус безкрайност. И понеже всички членове са положителни, знаем също, че това няма да се колебае между две различни стойности, което е добро доказателство, че този ред е сходящ. Логиката, която използвахме, за да обосновем защо това е сходящо, повтарям пак, че това не е стриктно доказателство, а това е логиката на интегралния критерий на Коши.