Ред на Маклорен за eˣ

Сега ще направим нещо много интересно. Това е, до известен смисъл, една от най-лесните функции, която да представим като ред на Маклорен. Да се опитаме да апроксимираме е^х. f(х) е равно на е^х. Това, което го прави наистина лесно, е, че когато намираме производните – и това е, честно казано, едно от изумителните неща за числото е – е, че производната на е^х е е^х Значи това е равно на f'(х), равно е на втората производна на f(х), равно е на третата производна на f(х), равно е на n-тата производна на f(х). Винаги е равно на е^х. Това е първото най-изумително нещо за числото е. Можеш да продължиш да намираш производни. Наклонът във всяка точка от графиката на функцията е равен на наклона в тази точка на кривата. Това е просто изумително. И след всичко казано, сега да представим функцията като ред на Маклорен. Трябва да намерим f(0), f'(0) втората производна за нула. е на степен 0 е просто 1. Значи това е равно на f(0). Това е равно на f'(0). Това е равно на всяка производна, изчислена за нула, n-тата производна, изчислена за нула. Затова използването на ред на Маклорен е толкова лесно. Ако искам да апроксимирам е^х с ред на Маклорен – значи е^х, тук ще сложа знак за приблизително равно – приближаваме се все повече и повече до реалното е^х, като добавяме още и още членове. Особено ако имаме безкраен брой членове, ще изглежда ето така. f(0) – какъв цвят използвах за косинус и синус? Използвах розово и зелено. Сега ще използвам нерозово и незелено, ще използвам жълто. Значи f(0) е 1 + f'(0) по х. f'(0) също е 1. Значи плюс х, плюс, това е също 1, става х^2 върху 2! Значи плюс x^2 върху 2!. Всичко това е равно на 1. Това е 1, това е 1, когато става дума за е^х. Отиваме при третия член. Това е 1. Получаваме х^3 върху 3! Плюс х^3 върху 3! Мисля, че виждаш закономерността. Продължавам да добавям членове. х^4 върху 4! плюс х^5 върху 5! плюс х^6 върху 6! И се появява нещо много елегантно. Това е, че е^х – това е наистина много интересно – е^х може да е приблизително 1 + х + х^2 върху 2! плюс х^3 върху 3!. Виждаме, че е^х започва да изглежда много яко. И това води до интересни резултати. Ако искаме да апроксимираме е, просто трябва да изчислим това за х = 1. За да изчислим приблизително е, казваме, че то е приблизително равно на... това е е^1. И това е приблизително равно на този полином, изчислен за 1. Ако х е равно на 1, тук заместваме х с единица. Става 1 + 1. Става 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! И така нататък до безкрайност. Това можем да разглеждаме като 1/1! Особено интересно е, че това е друг начин да представим числото е. Това ни показва, че числото е е равно на този елегантен израз. То е равно на 2 + 1/2 + 1/6... и като продължаваме така, се приближаваме до стойността на е. Но не само това е изумително. Ако се върнем на представянето като ред на Маклорен на другите функции, косинус от х... ще копирам и ще поставя косинус от х. Косинус от х е ето тук. Ще копирам и ще поставя всичко това. Копирам и поставям. Това е косинус от х. Сега ще направя същото нещо със синус от х от предходното видео. Значи синус от х. Копирам и поставям. Има ли връзка между тези апроксимации? Преди вероятно видя някаква връзка между косинус и синус, но има ли връзка с е^х? Тук виждаш, че косинус от х изглежда като този член плюс този член, въпреки че поставяме знак минус отпред. Това е отрицателната версия на този член тук, плюс този член, плюс отрицателната версия на този член тук. Синус от х изглежда точно като този член плюс отрицателната версия на този член, плюс този член, плюс отрицателната версия на следващия член. Ако някак можем да съгласуваме минусите по някакъв интересен начин, изглежда, че е^х е някак си – или поне представянето на е^х като полином – е някак свързано с комбиниране на представянето на косинус от х и синус от х като полиноми. И това вече става много, много, много яко. Започваме да виждаме връзка между неща, свързани със сложно влияние или с функция, чиито производни винаги са равни на тази функция. И тези неща, които са свързани с единичната окръжност и с колебателното движение, и всички тези неща тук, тук започват да изпъква една ясна свързаност. Но ще спра дотук в това видео. В следващото видео ще ти покажа как можем да съгласуваме тези три изумителни функции.