Запознаване със степенни редове

Вече видяхме много примери за безкрайни редове. Интересното в настоящото видео е, че ще използваме безкраен ред за дефиниране на ограничена функция. И най-разпространеният вид, който ще срещнеш в своята математическа кариера, са степенните редове. Ще запиша общия вид на степенен ред. Да си представим функцията f(х), която е дефинирана като безкрайна сума. Значи сума от a_n за n = 0 до безкрайност, а_n е коефициентът на членовете, по променливата х минус някаква константа с. Сигурно се досещаш, че това означава, че ще се сменя знакът, и това е на степен n. Ако трябва да развием това, коефициентът на първия член a_0 по (х – с) на степен 0, плюс a_1 по (х – с) на първа степен. Това се опростява също като a_0. Това се опростява като a_1 по (х – с) и после плюс а_2 по (х – с)^2. И мога да продължавам така до безкрайност. Като видиш това, може да се зачудиш: дали това не е геометричен ред, това не изглежда ли като частен случай на степенен ред, ако частното беше х вместо r в този случай, или ако частното беше променлива? И това е така. Точно такъв ще бъде случаят. Значи геометричен ред. Да помислим как да дефинираме функцията като геометричен ред. Разбира се, не е необходимо да използваме х през цялото време като независима променлива, но обикновено така е прието. Предполагам, че можем да използваме r като независима променлива, ако решим. Но да си представим функцията g(х). Може да бъде и g(r), ако искаме, но нека да е g(х) равна на сумата от ах^n за n от 0 до безкрайност. Това е типичен геометричен ред. Каква е разликата между това и това? Разликата е, че тук за всички членове имаме един и същ коефициент а, докато тук имаме а_n. Всеки път умножаваме по нещо различно. Тук умножаваме по едно и също нещо. В този случай този конкретен геометричен ред, който току-що записах, вместо (х – с)^n имаме просто x^n. Може да кажеш, че това е частен случай, когато с = 0. Можем да го развием. Това е х на нулева степен, което ще бъде просто а, плюс а(х)^1 плюс а(х)^2. И продължаваме така до безкрайност. Интересното тук е, че знаем, че това при определени условия всъщност ще ни даде крайна стойност. Това е сходящо. Това е логичен отговор. При какви условия се случва това? Това е сходящо, ако всеки от тези членове става все по-малък и по-малък. Това става, когато абсолютната стойност на частното е по-малка от 1. Ще го запиша. Този ред е сходящ, ако абсолютната стойност на частното е по-малка от 1. Друг начин да го разглеждаме е, друг начин да го формулираме е, че х принадлежи на интервала между... то е по-малко от 1 и по-голямо от –1. В този член тук сега х е променливата. х може да варира между тези стойности. Дефинираме функцията спрямо х. Наричаме това интервал на сходимост. Знаем, че ако х принадлежи на този интервал, това ще е крайна сума. И знаем колко е тази крайна сума. Тя ще бъде равна на... ако е сходяща. Ако е сходяща, тя ще бъде равна на първия член, който е просто а... това тук се опростява до а... върху 1 минус частното. Колко е частното? Частното в този случай е х. Когато отиваме от единия член до следващия, умножаваме по х. Тук просто умножаваме по х. Това е много елегантно, защото ние можем да използваме този факт и да представим и други традиционно дефинирани функции в този вид, и после да ги развием с използване на геометрична прогресия. Целият смисъл в използването на степенни редове или в този частен случай геометричен ред, за представяне на функции, има много и разнообразни приложения в техниката и финансите. Използвайки краен брой членове от тези редове, можем да апроксимираме функциите по такъв начин, който е по-разбираем за човешкия мозък или може би е по-лесен за работа. Интересното тук е, че вместо просто да намерим сумата... вместо да тръгнем от развитата версия към тази крайна стойност, сега ще можем да вземем нещо в този вид и да го развием в геометричен ред. Но трябва да внимаваме, да сме сигурни, че работим само в интервала на сходимост. Това е вярно само в този интервал на сходимост. Едно друго понятие, което може да срещнеш в математическата си кариера, е понятието радиус на сходимост. Това е колко далече... до коя стойност, но без тази стойност включително. Докато х е отдалечено с по-малко от някаква стойност от това с, тогава това е сходящо. В този случай стойността на с е нула. Тук може да си зададем въпрос – до каква стойност х трябва да е отдалечено от нулата, за да бъде това нещо сходящо? Виждаме го ето тук. Докато х е отдалечено с 1 от 0, то не може да нарастне чак до 1, но докато остава по-малко от 1 и по-голямо от –1. То може да бъде всяка стойност, отдалечена с по-малко от 1 от 0, и в положителна посока, и в отрицателна посока. Тогава това тук е сходящо. Можем да кажем, че радиусът на сходимост е равен на 1. Друг начин да разглеждаме това, е, че интервалът на сходимост... е от –1 до 1, без да включва двете граници, значи дължината на интервала е 2. Радиусът на сходимост е половината от тази стойност. Докато х е на разстояние до 1 от нула, това твърдение е същото като това тук, тогава редът е сходящ.