Запознаване с понятието обратна функция на дадена функция

Да речем, че имаме някаква функция f и тя изобразява от множеството X в множеството Y. Ще скицирам множеството X ето тук, това е моето множество X. Ще скицирам множеството Y, ето така. Ние знаем вече, и аз направих това преди няколко урока – знаем, че функцията просто свързва всеки член на нашето множество X – ако имам няколко члена на множеството X – ако приложа функцията към един елемент – ако работим с вектори, можем да си представим, че вместо да използваме термина функция, ще използваме думата трансформация, но те са едно и също нещо – ще свържем този елемент или този член на множеството X, с член на множеството Y. Ето защо наричаме това изобразяване. Когато прилагам тази функция – ще го направя в различен цвят – този член на множеството X е свързан с този член на множестовото Y. Ако това е точно тук – това е главно X. Нека да го наречем... Нека наречем това "а", а това да наречем "b". Ще кажем, че когато "а" е член на Х и "b" е член на Y, ще кажем, че функцията f(а) = b. Това е само преговор на всичко, което вече сме научили за функциите. Сега ще дефинирам няколко интересни функции. Първата – предполагам, че това е наистина само една функция, казах, че са няколко – ще я нарека тъждествена функция (идентитет). Това е функция. Просто ще я означа с главната буква I. (У нас се бележи с Id: {id}_X(x) = x, където Х е означение на множеството (долния индекс), а х е елемента от множеството) Тази тъждествена функция действа върху някакво множество. Нека да кажем, че това е тъждествената функция на множеството X, и тя е изобразяване от множеството X в множеството X. Интересното за тъждествената функция е, че ако ѝ подадем някакъв аргумент "а", който е член на X – да речем, че подадем това "а" – тъждествената функция, приложена към този член на множеството X, тъждествената функция от "а" ще бъде равна на "а". Тя буквално просто изобразява нещата обратно в самите тях. Тъждествената функция, ако я нарисувам на тази диаграма тук, ще изглежда така. Тя ще изглежда – ще избера хубав, подходящ цвят – тя би изглеждала така. Тя просто би била окръжност. Тя само ни връща обратно в точката, с която сме започнали. Тя свързва всички точки със самите тях. Това е тъждествената функция за множеството Х, особено след като се приложи върху точка "а". Ако я приложим към някаква друга точка в X, тя просто ще я върне обратно към нея самата. Това е тъждествената функция на множеството X. Може да имаме също тъждествена функция на Y. Да речем, че "b" е член на множеството Y. Ще начертая "b" там. След това тъждествената функция Y – това ще бъде тази тъждествена функция на Y, приложена към "b", която просто връща b обратно в самото него. Отнася обратно към себе си. Това ще бъде равно на "b". Това е тъждествената функция на Y. Може да кажеш:" Ей, Сал това са някакъв вид глупави функции." Но ние ще ги използваме. Те са най-малкото една полезна система от означения, която да използваме, когато напреднем с нашето изучаване на линейната алгебра. И аз ще дам едно ново определение. Ще кажа, че функцията – ще избера хубав цвят, розово – ще кажа, че дадена функция, нека да кажем f, тъй като вече я зададохме тук горе. Ще кажа, че функцията f е обратима, така въвеждам нов термин. f е обратима тогава и само тогава, когато е вярно следното – тогава и само тогава, когато е вярно следното... Мога дори да я напиша с тези двупосочни стрелки по този начин, или мога да я напиша като iff с две f. Това означава, че това е вярно тогава и само тогава, когато това е вярно. Това зависи от това и това зависи от това. Така че, f е обратима – аз един вид давам определението – тогава и само тогава, когато съществува функция... няма да я кръщавам все още, ще я означа някак след секунда, всъщност ще я означа с това f с този горен индекс –1. Така че f е обратима тогава и само тогава, когато съществува обратна функция f. Предполагам просто ще я нарека по някакъв начин – f обратна, такава, че... Нека направя това в лилаво. Такава, че ако приложа функцията f... Спомни си, f е просто изобразяване от множеството X в множеството Y. Така че тази функция – обратната функция на f, ще бъде изобразяване от множеството Y в множеството X. Функцията f е обратима, ако съществува функция f обратна, която изобразява от множеството Y в множеството X, така че ако взема комбинацията на f обратна с f, това ще е равно на тъждествената функция върху Х. (кръгчето "о" означава последователно действие на двете функции) Нека помислим какво се случва. Това всъщност е само част от нея. Нека само да завърша цялата дефиниция. Това е вярно, това трябва да бъде вярно, и комбинацията на f с обратната функция трябва да бъде равна на тъждествената функция върху Y. Нека просто да помислим какво означава това. Има някаква функция – сега ще я нарека, това се нарича обратната на f – и тя е изобразяване от Y в X. Нека я нарисувам тук горе. f е изобразяване от множеството X в множеството Y. Ние показахме това. Това там е изобразяване от f. То отива в тази посока. Казваме, че трябва да има някаква друга функция, обратна на f, която да изобразява от множеството Y в множеството X. Ще го напиша тук. Обратната функция f изобразява от Y в X. При обратната f, ако ми дадеш някаква стойност от множеството Y, аз ще отида в множеството X. Така че множеството на първообразите на тази функция (f обратна) съвпада с множеството на образите на тази функция (f) и обратното. Достатъчно ясно. Но нека видим какво е казано. Казано е, че комбинацията на обратната f с f трябва да бъде равна на тъждествената функция. По същество се казва, че ако приложа f към някаква стойност от множеството X – ако помислиш, какво прави тази комбинация на функции – тази функция изобразява от множеството X в множеството Y. Тази функция изобразява от множеството Y в множеството X. Нека да помислим какво се случва тук. f изобразява от X в Y. Обратната f изобразява от Y в X. Тяхната комбинация е изобразяване от множеството X в множеството X, което трябва да направи тъждествената функция. Тя трябва да изобрази от Х в Х. Казва се, че това се равнява на тъждествената функция. Значи когато прилагаме f към някаква стойност в множеството на първообразите, отиваме тук, а после прилагаме обратната f върху тази точка, тогава се връщаме обратно в тази първоначална точка. Друг начин да се каже това е, че f – нека го направя в друг цвят – комбинацията от функцията f обратна и функцията f за някой член на множеството X е равна на тъждествената функция, приложена върху този елемент. Тези две твърдения са еквивалентни. Така че по дефиниция това ще бъде нашето първоначално нещо. Друг начин да напишем това е, че обратната f, приложена към f(а) ще бъде равна на "а". Ето какво ни казва това първото твърдение. Ако разгледаме това визуално, то казва, че започваме с "а", прилагаме f към него и получаваме тази стойност тук – това е f(а) – и това е равно на "b", по-рано казах, че това е равно на "b". След това, ако приложим тази обратна функция f – а тя не винаги съществува – но ако приложим тази обратна f към тази функция, трябва да се върнем в а. По дефиниция трябва да се върнем в първоначалното "а". Това е еквивалентно на това завъртане на 360 градуса, което ти показах, когато те запознах с тъждествената функция. Това ни казва това твърдение тук. Това второ твърдение казва: виж, ако аз приложа f към обратната f, получавам тъждествена функция на Y. Ако започна от някаква точка в множеството Y и първо приложа функцията f обратна, може би идвам ето тук. Ще означа това с малката буква "y", така че това ще бъде обратна функция f(у). След това, ако трябва да приложа f към това – знам, че тази диаграма става много объркваща – ако приложа f към това тук, трябва да се върна назад към моето първоначално у. Когато прилагам f към fобр(у), това трябва да бъде еквивалентно на прилагането на тъждествената функция спрямо y. Ето това казва второто твърдение. Друг начин да го напиша е, че функцията f от обратната f от "y", където "y" е член на множеството с главно Y, трябва да бъде равна на "y". Срещал/а си идеята за обратна функция и преди. Просто го правим малко по-подробно, защото ще започнем да се занимаваме с тези понятия за трансформации и матрици в най-близко бъдеще. Така че е добре да познаваш тази по-точна формулировка. Първото нещо, което може да попиташ е – ако имаме функцията f, и ако съществува обратната функция f (f^(–1)), която отговаря на тези две изисквания, така че функцията f е обратима. Очевидният въпрос, или може би това не е очевиден въпрос, е: "Дали обратната функция f е единствена?" А може би очевидният въпрос е: "Как да знам когато нещо е обратимо?" Ще говорим много за това в най-близко бъдеще. Но да речем, че знаем, че f е обратима. От къде знаем, по-точно знаем ли дали f^(–1) е единствена? За да отговорим на този въпрос, нека приемем, че тя не е единствена. Ако тя не е единствена, тогава да кажем, че има две функции, които отговарят на нашите две изисквания, които могат да действат като обратни функции на f. Да речем, че "g" е едната от тях. Така че, нека кажем, че "g" е изобразяване... Не забравяй, че функцията f е изобразяване от множеството X в множеството Y. Нека функцията g е изобразяване от множеството Y в множеството X, такова че ако приложа f към нещо и след това приложа g към него – това ме отвежда от множеството X в множеството Y. Когато комбинирам функцията f с функцията g, това ме отвежда обратно в Х. Това е еквивалентно на тъждествената функция. Това беше част от определението за това какво означава една функция да бъде обратна. Така че, казвам че функцията g е обратна функция на f... Приемам, че функцията g е обратна на функцията f. Тази хипотеза предполага тези две неща. Сега нека да кажем че функцията h е друга обратна функция на f. По дефиниция според това, което току-що нарекох обратна функция, функцията h трябва да отговаря на двете изисквания. Тя трябва да бъде изобразяване от множеството Y към множеството X. Тогава, ако приложа комбинацията на функциите h и f, трябва да получа тъждествената функция на множеството X. Това не е просто част от дефиницията, то означава дори нещо повече. Ако една функция е обратна, тя трябва да удовлетворява и двете изисквания. Комбинацията на обратната функция с функцията трябва да даде тъждествената функция за множеството Х, и след това комбинацията на функцията с обратната функция трябва да даде тъждествената функция на множеството Y. Ще запиша това. Функцията g е обратна на f. Това означава това. Също означава и – ще го направя в жълто – че комбинацията на f с g е равна на тъждествената функция за множеството Y. След това, ако го направим с h, фактът, че h е обратна на f означава, че комбинацията на f с h е равна също на тъждествената функция за множеството Y. Ще начертая отново това, което скицирах в началото, за да знаем какво правим. Ако това тук е множеството X – ще го направя в различен цвят – нека това тук е множеството Y. Знаем, че функцията f е изобразяване от множеството X в множеството Y. Искаме да определим дали обратната функция на функцията f е единствена. Всяка обратна функция... нека функцията g е ситуация, при която, ако вземем комбинацията на функцията g с функцията f, ще получим тъждествената функция. Функцията f прави това. Ако приложим функцията g, ще отидем обратно в същата точка. Така че това е еквивалентно. Вземайки комбинацията на g с f – това означава, да изпълним първо f, а след това g – това е еквивалентно на това просто да приложим тъждествената функция за X и се връщаме обратно в X. Това е еквивалентно на това. Това тук е функцията g. Същото нещо е вярно за функцията h. h би трябвало също да бъде... Ако започна с някакъв елемент в X и отида в Y, а след това приложа h, това също трябва да бъде еквивалентно на тъждественото преобразувание. Това казват това и това твърдение. Сега това твърдение казва, че ако започна с някакъв елемент на Y и приложа функцията g, която е обратна на функцията f, тогава ще отида тук. Функцията g ще ме отведе тук. Ако приложа след това f върху това, тогава ще се върна обратно към този същия елемент от Y. Това е все едно просто да приложим тъждествената функция за Y. Това е същото нещо като тъждествената функция на Y. Мога да направя същото нещо тук с функцията h. Просто вземам точка тук, прилагам h, и после прилагам отново f. И би трябвало просто да се върна до тази точка. Това е всичко, което се казва. Така че нека се върнем към въпроса дали функцията g е единствената обратна функция на функцията f. Можем ли да имаме две различни обратни функции g и h? Да започнем с g. Спомни си, функцията g е просто изобразяване от множеството Y в множеството X. Това ще бъде равно на – това е същото нещо като комбинацията на тъждествената функция върху Х с функцията g. За да ти покажа защо това е така, спомни си, че функцията g просто изобразява от – тези диаграми стават заплетени много бързо – нека това е множеството Х, а това множеството Y. Спомни си, че функцията g е изобразяване от Y в множеството Х. Така че функцията g ще ни отведе там. Това е изобразяване от Y в Х. Казвам, че тази функция g е еквивалентна на тъждественото изобразяване или тъждествената функция при комбинацията на двете функции g и f. Защото всичко, което казва това е, че прилагаме g и след това прилагаме тъждественото преобразувание върху множеството Х. Така че, очевидно, ще получим точно същото изображение или точно същата точка. Значи тези две твърдения са еквивалентни. Но какъв е другият начин за записване на тъждественото изобразяване на Х? Какъв е другият начин да го напишем? По дефиниция, ако h е друга обратна функция на f, това е вярно. Така че мога да заменя това в този израз с комбинация на функцията h с функцията f. Така че това ще бъде равно на комбинацията на функциите h и f, както и на комбинацията на това с g. Може да искаш да сложиш скоби тук. Ще ги направя много светли. Може да искаш да поставиш скоби там. Но аз ти показах преди няколко урока, че за комбинацията на функциите или на преобразуванията важи асоциативният закон. Няма значение дали ще сложим скобите там или ще сложим скобите там. Всъщност ще го направя. Ще поставя скобите там първо, за да можеш да разбереш, че това е същото нещо като това там. Но ние знаем, че за комбинацията на функции важи асоциативният закон. Така че това е равно на комбинацията на h с комбинацията на f и g. На какво е равно това – комбинацията на f и g? Това е равно на – по дефиниция – е равно на тъждественото преобразувание върху множеството Y. Така че това е равно на комбинацията на h с тъждествената функция за множеството Y, което е това тук. И какво получаваме? Спомни си, че функцията h е изобразяване от множеството Y в множеството Х. Ще го скицирам отново. Това е множеството Х, а това е множеството Y. Функцията h може да вземе някакъв елемент на Y и да го изобрази в някакъв елемент на множеството Х. Сега, ако взема комбинацията... Ако взема комбинацията на тъждественото преобразувание на Y, по същество вземам някакъв елемент – ще го направя по следния начин – вземам някой елемент на Y, прилагам тъждествената функция, която по същество просто ми дава този елемент отново, и след това прилагам h към полученото. Това е същото като просто да приложим h към функцията, с която започнахме. С това малко упражнение показахме, въпреки че в началото казахме, че съществуват тези две различни обратни функции на функцията f, ние показахме, че функцията g трябва да бъде равна на функцията h. Така че всяка функция има единствена обратна функция. Не може да намериш две различни обратни функции. Ако го направиш, ще установиш, че те винаги ще бъдат равни помежду си. Вече знаем какво е обратна функция. Не знаем каква е причината една функция да има обратна функция, или да няма, но ако има обратна функция, знаем как да я разглеждаме. Знаем също, че тази обратна функция... Знаем също така, че за една функция съществува само една обратна функция.