Скаларно произведение на вектори и дължина на вектор

Вече дадохме определения за някои операции, които можем да извършваме с вектори. Дефинирахме събиране на вектори, и то ти е познато. Ако имаме два вектора... да кажем, че първият е [а1; а2;...an]. Дефинирахме, че сборът на този вектор и да кажем втори вектор [b1; b2;...bn] е някакъв трети вектор. Ако съберем тези двата, дефинирахме, че операцията събиране дава трети вектор, резултатът е трети вектор, за който всеки от компонентите му е просто сбор от съответните компоненти на двата вектора, които събираме. Значи ще получим вектор [(а1 + b1); (а2 + b2);...(аn + bn)]. Знаем това и го правихме преди няколко урока, където използвахме това определение за сбор на вектори. Познаваме също така умножението на вектор по число. Може би трябва да го наричаме мащабиращо умножение. Това е случаят, когато имаме някакво реално число с, и ако го умножа по вектор [а1; а2...аn], произведението на вектора с това число е... умножението на скалар по този вектор ще даде вектор, всеки компонент на който е произведение на съответния компонент на изходния вектор по числото с. [са1; са2...саn]. След като разгледахме тези две операции, може би се изкушаваш да кажеш, че би било хубаво да можем да умножаваме два вектора. Това е просто скалар (число) по вектор, което го мащабира. И това е реалният ефект какво се получава, ако го представим графично в три измерения или по-малко. Това е мащабиране на дължината на вектора. Ние още не сме дефинирали дължина на вектор особено прецизно. Но разбираш какво се случва при тази операция. За умножението на вектори, или за намирането на произведението им, всъщност има два начина. В това видео ще покажа единия от тях. Ще разгледаме скаларно произведение на вектори. Означаваме скаларно произведение, като пишем а "точка" b. Тук е зает един от начините за записване на умножение, като тук не можем да запишем знак за умножение "х". Със знак за умножение "х" се означава друг вид произведение на вектори – векторно произведение. Скаларното произведение на вектори е – намирането му е приятно, защото е много ясно математически, за разлика от векторното произведение. Приятно е да се намира, и е интересно, защото резултатите... да вземем вектор [а1; а2;...аn]. Да намерим скаларното му произведение с вектор b [b1; b2;...bn]. То ще бъде равно на сбора от произведенията на съответстващите си компоненти. Значи а1 по b1 плюс а2 по b2, плюс а3 по b3, плюс... до аn по bn. Какво е това? Това вектор ли е? Не, това е просто число. Това е само едно реално число. Намираш произведението и събираш група реални числа. Това ще бъде скалар, реално число. Това тук ще е просто едно число. Значи при скаларното произведение на вектори умножаваш два вектора и получаваш числена стойност. Ще ти покажа няколко примера, просто ако това ти се струва твърде абстрактно. Да намерим скаларното произведение на вектор [2; 5] и на вектора [7;1]. Това просто ще е равно на 2 по 7 плюс 5 по 1, или на 14 + 6. Не, извинявам се, 14 + 5, което е равно на 19. Значи скаларното произведение на тези два вектора е 19. Да направим още един пример, въпреки че мисля, че това е доста лесно нещо. Ще използвам бледо розово. Добре. Да кажем, че скаларно умножавам векторите [1; 2; 3] и [–2; 0; 5]. Това е 1 по –2, плюс 2 по 0, плюс 3 по 5. Значи –2 плюс 0 плюс 15. –2 плюс 15 е равно на 13. Това е скаларното произведение съгласно това определение. Но сега ще дам друго определение. Сега ще дам определение за дължина на вектор. Може би ще кажеш: "Сал, знам какво е дължина на нещо. Измервам дължини от дете. Защо трябва да съм чакал/а чак до колежа за това?" Може би учиш това дори преди колежа, но този материал се изучава в колежа. Защо сега ще ти давам това определение? Отговорът е, понеже сега ще разглеждаме нещата абстрактно отвъд тримерното пространство R3, с което си свикнал/а. Ще разглеждаме общия случай, когато векторите могат да имат 50 компонента. Нашето определение за дължина ще задоволява, ще работи дори за вектори с 50 компонента. И така, определението за дължина... но също така аз ще запазя съгласуваност с това, което знаем за дължината. Ако взема дължината на вектор а, като начинът на записване е да сложим тези две чертички около символа на вектора. (у нас се означава с по една чертичка |a|, като абсолютна стойност) Дължината на моя вектор е равна на... и това е определението. Тя е равна на квадратен корен от всеки член, от всеки компонент на втора степен, и ги събираме. Плюс а2 на втора степен, плюс всичко до аn на втора степен. Това е много лесно. Ако искам да взема... да наречем това вектор b. Ако искам да намеря дължината на вектор b, колко е тя? Тя е квадратен корен от 2 на квадрат, плюс 5 на квадрат, което е равно на корен квадратен от – колко е това? Това е 4 плюс 25. Квадратен корен от 29. Това е дължината на този вектор. Може да кажеш: "Но аз вече знам това. Това следва от питагоровата теорема." Ако трябваше да начертая моя вектор b – ще го начертая тук. Това са моите координатни оси. Ако начертая вектор b в стандартен вид, ще изглежда така. Отивам с 2 надясно. Едно, две. После отивам нагоре с 5. Едно, две, три, четири, пет. Изглежда ето така. Моят вектор b изглежда ето така. Съгласно питагоровата теорема, която знаеш, ако искам да намеря дължината на този вектор в R2, ако го чертая в двумерно пространство, взимам тази страна с дължина 2, после взимам тази страна, която е 5, и това е равно на квадратен корен от съгласно питагоровата теорема, от 2^2 плюс 5^2. Което е същото като това, което направихме тук. Значи определението за дължина е напълно съгласувано с нашия начин да измерваме дължини в едно-, дву- и тримерни пространства. Но това, което е особено хубаво тук, е, че сега можем да започнем да разсъждаваме за дължината на вектор, който има, например, 50 компонента. Което, както знаеш, е невъзможно да се изобрази графично. Но въпреки това можем да използваме понятието дължина в абстрактни случаи, които са отвъд нашата представа за дължина. Можем ли някак да свържем дължината на вектора и скаларното произведение? Можем ли да намерим скаларното произведение на вектор а със самия него? Колко е скаларното произведение на вектор а по вектор а? Това е равно на... Ще го запиша отново. Скаларното произведение на [а1;...аn] по [а1;...аn]. Това е равно на а1 по а1, което е а1 на втора степен. Плюс а2 по а2. Това е а2 на квадрат. Плюс... и така чак до аn по an, което е an на квадрат. Но какво е това? Това е същото, което виждаме тук под корена. Тези два израза са еднакви. Така че можем да запишем определението за дължина на вектор, можем да го запишем като скаларно произведение, чрез нашето определение за скаларно произведение. Това е равно на квадратен корен от скаларното произведение на вектора по самия себе си. Ако повдигнем на квадрат двете страни, можем да кажем, че това е новото ни определение за дължина на вектор: дължината на вектора на квадрат е равна на скаларното произведение на вектора по самия себе си. И това е много хубаво – това е почти елементарно за доказване, но е много полезен резултат, който ще използваме в следващите видео уроци. Това беше запознаване със скаларно произведение на вектори и с дължина на вектор. В следващото видео ще покажа много от техните свойства. Ще бъде почти скучно, но искам да разгледаме всички тези свойства, за да можем да ги използваме в доказателства в бъдеще.