Сложна задача със сумиране на квадратни корени (2003 AIME II задача 15, част 1)

Казвам ти предварително, че тази задача не е шега работа. Но ако я решаваш стъпка по стъпка, всъщност не е толкова трудна. Но това не е лесна задача, така че не се отчайвай, ако не ти става ясно откъде да започнеш. "Нека полиномът Р(х) да е равен на 24 по х^24 плюс сумата от (24 – j) по, скоба, х на степен (24 – j) плюс х на степен (24 + j), край на скобата, за j от 1 до 23. "Нека z1, z2... zr да са различни нули (корени) на полинома Р(х)" – добре. "Нека z с индекс k, цялото повдигнато на квадрат, да е равно на а с индекс k, плюс (b с индекс k) по i за всяко k от 1 до r." Значи тук имаме z с индекс k или... предполагам, че имат предвид, че а с индекс k, плюс b с индекс k по i е равно на квадрата на съответния корен на полинома. Да видим, k е от 1 до r, като i е равно на корен квадратен от –1. Това го знаем. а с индекс k и b с индекс k са реални числа. Нека сумата от абсолютната стойност на b с индекс k за k от 1 до r да е равна на това число тук, като m, n и р са цели числа, а р не се дели на квадрата на никое просто число. Значи тук ни казват, че са опростили максимално корен от р. "Намери m + n + p." Значи тази сума ето тук, това е сумата на абсолютните стойности на имагинерните части на квадратите на корените на полинома. Нали? b с индекс k е имагинерната част на квадрата на k-тия корен на полинома, предполагам, че мога да се изразя така. И така, това, което трябва да направим, е да вземем абсолютните стойности на имагинерната част на квадрата на корените на полинома и после да ги сумираме. Преди още дори да помислим как да направим това, нека – не знам, нека се опитам да визуализирам този полином малко по-добре. Всъщност, имам чувството, че решаването на тази задача ще заеме няколко видеа. Дадено е, че Р(х) е равно на... първият член тук е 24. Всъщност това не е първият член, това е първият член по начина, по който е написано. Първият член може да е всичко. 24 по х^24. Сега да запишем това ето тук. Ако приемем, че j е равно на 1, какво ще получим? Получаваме 23 по х^23 плюс х^25. Това е 24 плюс j. Когато j е равно на 2... Ще направя тук една голяма колона. Когато j е равно на 2, имаме плюс 22, х на степен 22, плюс х на степен 26. Можем да продължим по този начин. Плюс... мисля, че разбираш общия принцип. Този член ето тук, коефициентите отиват надолу, намаляват. Намалява и този степенен показател ето тук, но тук степенният показател нараства. Така че можем да продължим да събираме – да отидем на j = 22. Когато j е равно на 22, 24 минус 22 е 2. Това става 2 по, скоба, х на квадрат – 22 плюс 24 е 46 – значи плюс х на 46-а степен. Вярно ли го направих? 22, 46. После, последният член тук, когато j е равно на 23, понеже тук ще спрем, тук получаваме 1 по х плюс х на степен 47. Това е нашият полином. Сега искам просто да преработя това във вида, в който сме свикнали да виждаме полиномите, а това означава, че най-отпред е членът, който е с най-висока степен, а после намаляват. Значи можем да запишем, че Р(х) е равен на... кой е членът с най-висока степен? Имаме х на 47 степен ето тук, точно ето тук... значи х на степен 47. Коефициентът е 1, ако разкрием скобите. Значи става х^47 плюс този член ето тук, 2 по х^46. Просто разкривам скобите и умножавам по този множител, или този коефициент, така да се каже – става 2 по х^2 плюс 2 по х^46. И продължаваме по този начин чак докато стигнем до 22 по х^26. Виждаш ли какво се получава? Коефициентът нараства всеки път с една единица, а степента намалява с една единица. Плюс 23 по х^25. Следващата степен, нямаме х на 24-та степен, но имаме х^24 ето тук. Изглежда, че задачата е съставена по такъв начин, че са го скрили тук. Значи плюс 24 по х^24. Сега можем да запишем всички тези членове. Имаме плюс 23 по х^23, плюс 22 по х^22, а после слизаме надолу чак до плюс 2 по х^2 плюс х. Това е друг начин, поне аз така разсъждавам, да опростя малко този полином. Сега имаме добра представа какво се случва. Това са просто всички степени на х до 47-ма степен. Коефициентите започват от 1 и нарастват до 24, след което отново намаляват. Интересуват ни нулите на този полином. Има една нула, която много лесно можем да намерим. Можем просто да изнесем пред скоби едно х. Всички членове се делят на х. Значи можем да преработим полинома като равен на х по х^46 плюс 2 по х^45... просто деля всички членове на х, изнасям х пред скоби... плюс и така нататък до 22 по х^25 плюс 23 по х^24... и после имаме това в цикламено – плюс 24 по х^23... а после имаме всички тези членове тук долу – после имаме плюс 23 по х^22 плюс 22 по х^21, и така до 2 по х плюс 1. х равно на 0 определено е корен на полинома – ако приравним х на нула... х = 0 е корен. Това няма голямо значение, защото няма имагинерна част. Ако вземем 0 – една от нулите на полинома тук е нула, и ако повдигнем 0 на квадрат, това няма да има имагинерна част. Значи абсолютната стойност на тази имагинерна част няма да допринесе нищо към тази сума ето тук, но може би така опростяваме този израз. Така че наистина ни интересува сумата на нулите, различни от 0. Интересува ни сумата от всички останали членове, които са тук в скобите. Тази част, следващата стъпка, ако мога да кажа така, може би не е очевидна за теб, но след като я видиш... след като видиш модела, предполагам, че винаги, когато отново срешнещ нещо такова, може би в други състезателни задачи или задачи от олимпиади – ще можеш да я разпознаеш, защото това не е лесно да се разпознае. Такива задачи по принцип не срещаш в обикновените часове по математика. Сега тук, за да намеря закономерност, искам да разгледам какво ще се случи, когато повдигнем на квадрат различни полиноми. Ако повдигнем на квадрат полином, в който всички коефициенти са 1. Не е задължително всички коефициенти да са едно, но така ще можем да видим някаква закономерност. Тази закономерност би била, очевидно, малко по-различна, ако коефициентите са различни. Ако вземем (х + 1) на квадрат, това е равно на х^2 + 2х + 1. Това сме го виждали вече много пъти. Колко е (х^2 + х + 1) на квадрат? Това, което правя тук, е да взема всички степени на и да ги събера. Това е равно на... достатъчно сме се упражнявали и ако гледаш това видео, ти би трябвало да знаеш как да направиш това. Това е равно на х^2 по х^2. Това е равно на х^4 плюс х^2 по х, което е равно на х^3, плюс х^2 по 1, което е равно на х^2, плюс х по х^2, което е равно на х^3, плюс х по х, което е х^2, плюс х по 1, което е х. Накрая имаме 1 по всичко това, което дава плюс х^2 плюс х плюс 1. Ако съберем тези членове, ще получим х^4 плюс 2х^3 плюс 3х^2 плюс 2х плюс 1. Може би вече забелязваш някаква закономерност, която се появява. Това, което се случва тук, когато повдигнем (х + 1) на квадрат, е, че започваме с коефициент 1, после отиваме на 2, а после пак се връщаме на 1. Не е ясно дали има закономерност, но изглежда, че коефициентите първо се увеличават, после намаляват. Какво става, когато повдигнеш това на квадрат? Започваш с 1 после коефициентите стават 1, 2, 3 – коефициентът на средния член, 3, коефициентът с най-голяма стойност е този при средния член, а после коефициентите започват да намаляват отново. 1, 2, 3, после 2, 1. Можеш да докажеш, че това се отнася практически за всеки полином. Така че мога просто да запиша – няма да извършвам умножението. Ако имаш време, можеш да го направиш. Ако трябва да повдигна на квадрат израза х на трета степен плюс х^2, плюс х, плюс 1, ако повдигна този израз на квадрат, въз основа на този модел – можеш да го направиш на хартия, ако искаш – надявам се, че знаеш как да умножаваш полиноми от този вид. Има специално видео за това, ако не можеш. Това ще бъде равно на – членът с най-висока степен ще бъде х на шеста степен. Това ще бъде 1 по х^6, плюс 2 по х^5, плюс 3 по х^4, плюс... трябва да внимаваме – средният член... значи това тук трябва да е... всеки от тези членове по всички... значи последният член ще бъде – тук ще имаме х^4... няма да записвам тези коефициенти. Ще имаме х^4 плюс нещо по х^3, плюс нещо по х^2, плюс нещо по х, плюс 1. Значи ще имаме 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 члена. Средният член ще бъде ето този тук. Тук е коефициентът с най-голяма стойност, а после коефициентите отново намаляват. 3, 2... о, извинявам се. Трябва да е 3, опа, 4х, после 3, после 2 и после отново 1. Можеш да извършиш това умножение самостоятелно, но мисля, че виждаш закономерността. Когато погледнеш това ето тук, където коефициентите започват от 1, 2, и така нататък до 24, което е най-голямата стойност. Забележи, че най-голямата стойност на коефициента – средният член, който има най-голям коефициент – всъщност той е най-голям. Тук най-голямата стойност е членът с х^3, като това е полином от трета степен, който повдигаме на квадрат. Ето тук, най-големият коефициент е при х^2, това е полином от втора степен, който повдигаме на квадрат. Тук най-големият коефициент е при члена, съдържащ х, като това тук повдигаме на квадрат полином от първа степен. Това е точно същата закономерност, но тук най-високата стойност на коефициента е при х^23. Като използваме тази закономерност, можем да докажем това в общия случай. Това става много претрупано, мисля, че разбра общата идея. Това ето тук – това е точно това, което имам предвид, това не е най-лесното нещо на света, което човек да забележи – Р(х) може да бъде записан като равен на х по... това ето тук е х^23 – х^23 плюс х^22, плюс х^21 и така нататък до плюс х^3, плюс х^2, плюс х, плюс 1, цялото на квадрат. Знаем, че... можеш да знаеш това, само ако вече си го виждал/а. Но това е начинът, по който трябва да се направи. Разглеждаш... това е закономерността. Коефициентите нарастват до 24, а после намаляват. Това важи, независимо какъв е коефициентът на члена от най-висока степен. Тук е х на 23-а степен. Ще бъде х^23 плюс всички степени на х, по-малки от нея (23), надолу, чак до х на нулева степен, и целият полином повдигнат на квадрат. Видяхме тази закономерност няколко пъти. Ще прекъсна дотук това видео. Това се опростява донякъде, но ни очакват още няколко интересни моменти, през които трябва да минем, за да можем да решим задачата.