2013 AMC 10 A #25

Казусът е следният, започваме с с всичките 20 диагонала на осмоъгълник. После ще преброим всички точки вътре в този осмоъгълник, в които поне два от тези диагонала се срещат. Ако сте по-добри е чертаенето и по-търпеливи от мен, може да го начертаете много внимателно. Начертайте всички диагонали и пребройте пресечните точки в осмоъгълника. Успех с това. Не звучи много забавно, затова няма да го правим. Ще започнем с бърза скица на осмоъгълника, за която ще се преструваме, че е обикновена. А сега нека помислим как да организираме преброяването, и къде се пресичат всички диагонали. Имаме 20 доагонала, но общо три типа дигонали. Нека броим според дължината на диагоналите. Имаме къси. Ще ги начертая с червено, с буква s за кратко. Имаме средни, в зелено. Вземете си цветни моливи на теста. И накрая имаме тези дълги, които минават пред центъра на осмоъгълника. Забравих да дам буква на средните, l ще са дългите, средните ще бъдат m. Сега ще организираме броенето, съсредоточени върху всеки от трите типа диагонали и какви пресечни точки имат. Започвам с късите. Трябва ми червения молив. Ето един къс диагонал. Ще проверя къде два къси диагонала могат да се пресекат. Мога да начертая този и този. Виждаме, че тези двата се пресичат пред тази страна. Тези двата се пресичат точно пред тази страна. Мога да начертая още един тук с пресичане точно пред това. За всяка страна осмоъгълника, ще има една точка точно пред нея, в която два къси диагонала ще се пресичат. Значи имаме осем пресечни точки между две къси страни. Нека погледнем къде късата страна може да пресече средната. И пак ще гледаме този диагонал тук. Може да се пресече с този среден диагонал или с този. Тези са единствените два, с които може да се пресече. Очевидно, тези две точки са различни от тези две. Имаме две нови пресечни точки между два диагонала. За всеки от късите диагонали в нашия осмоъгълник мога да намеря по две нови пресечни точки със средните диагонали. Има осем къси общо, което прави 8 по 2. 16 пресечни точки между къси и средни диагонали. Сега ще разгледаме късите и дългите. Всеки къс диагонал има един дълъг, който го пресича по средата. Тази точка не е същата като останалите 4. Намерихме 8 нови пресечни точки, по една за всеки къс диагонал. Толкова за късите диагонали. Продължаваме със средните. Вече разгледахме пресечните точки на средните с късите диагонали. Нека разгледаме пресечните на средните със средни. Върху този среден диагонал ще се съсредоточа. Една пресечна тук, една тук, Имаме следното- този среден диагонал го пресича, както и този среден. Тези са четирите, които пресичат средния. тук трябва да внимаваме. Трябва да се уверим, че четирите пресечни за различни точки. Очевидно тези двете са различни. Илизат от един връх, но отиват в различни посоки. Тези двете са различни. А тези двете тук? Можем да преценим дали са различни, гледайки колко далече са от върха. Този равнобедрен триъгълник тук ми казва, че дистанцията е равна на на страната на осмоъгълника. Но после поглеждам този равнобедрен триъгълник, и виждам, че дължината е по-малка от страната на осмоъгълника. Значи това и това не са еднакви. Двете точки са различни. Трябва да проверим също и тези две точки. Може би тези тва диагонала всъщност се пресичат тук. А аз съм ужасен в чертаенето на тези неща. За да видим, че това не може да бъде чак тук, поглеждаме тези равнобедрени триъгълници. Това е страната на осмоъгълника очевидно. Значи дитснацията оттук дотук е половината от страната на осмоъгълника. Знаете ли какво, просто ще го разделя на два малки равнобедрени триъгълници. Значи тази дължина е половината от страната на осмоъгълника. Дължината тук е страната на осмоъгълника, разделена на корен квадратен от 2. Това е много по-далеч. Това не е тук. Тези две точки не са еднакви. Добре. Това ми казва, че имам 4 пресечни точки върху този среден диагонал. И имам 8 от тези средни, изглежда имам 8 по 4 или 32 пресечни точки общо между тези два средни диагонала. Но трябва да внимаваме тук, защото това 32 брои всяка точка два пъти. Първо върху този диагонал броим тази точка, още веднъж тук и още веднъж тук броим точките върху него. Значи трябва да разделим 32 на 2. Имаме 16 точки, защото това 32 съдържа в себе си всяка от тях два пъти. Нека продължим с точките между средните и дълги диагонали. Виждаме, че този дълъг пресича този среден, но може би минава през тази точка тук. Трябва да проверим какво става тук. Този дълъг диагонал минава ли през пресечната точка на тези два средни? Защото тогава нямаме нова пресечна точка. Единият начин да разберем това е да я погледнем върху този диагонал. Ще застана тук. Наклонете си главите и вижте. Вижте какво става върху този диагонал. Ако обърнем този връх върху този диагонал, ше получим този връх. Ако обърнем този връх върху диагонала, ще получим този връх. С други думи, ако взема този диагонал и го обърна върху дългия, ще получа този диагонал. Тези два средни диагонала са симетрични с този дълъг. И това ми показва, че тези двата пресичат този диагонал. Значи това е нова пресечна точка. Тази линия минава директно през тези две точки, директно през тези две. Ще мина точно през пресечната на тези два диагонала. Нямаме нова точка тук. И това ще важи всеки път, когато начертаем дълъг диагонал. Ще трябва да използвате въображението си при моя чертеж. Но ще направя тази линия леко вълнообразна. Ако начертаем този дълъг диагонал, трябва да минем през пресечната точка на тези два, които са симетрични на този диагонал. Тогава няма да имаме нови точки. Сега трябва да мислим само за дългите диагонали, което е лесно. Всички четири се пресичат в центъра на осмоъгълника. Гледайки това, бихте си казали, че отговорът е (А) или (В), защото трябва да нечетен. Взимате тази точка в средата и всичко друго идва в групи по 8. Сега можем да сметнем всичко. Имаме 8 плюс 16, което е 24. 8 плюс 16, още веднъж 24. Става 48 дотук. Добавяме 1. Получаваме 49 и сме готови.