Какво представлява квадратичната апроксимация

В последните няколко видео клипа разгледахме локална линеаризация на функция. От графична гледна точка има много добро тълкуване, когато си представим графиката на една функция и искаме да апроксимираме стойността ѝ около някаква точка, представи си тази точка от графиката, като не е задължително точката да е точно тази, можем да изберем коя да е всяка друга точка от графиката, но ако имаме някаква точка и искаме да апроксимираме стойността на функцията около нея, можем да намерим друга функция, чиято графика е една обикновена равнина, по-точно равнина, която е допирателна в тази точка към графиката на първоначалната функция. Това е един вид визуално представяне на начина, по който разглеждаме лолкалната линеаризация. В това видео и в следващите няколко ще разгледаме т.нар. квадратична апроксимация. Тук принципно се изкачваме с едно стъпало нагоре в апроксимацията. Първо ще ти покажа как изглежда графично, а после ще ти покажа какво представлява аналитично. При графичното представяне, вместо да имаме равнина като тази, разглеждаме още няколко параметъра, и така получаваме една повърхнина, която обгръща графиката малко по-плътно. Формулата на тази нова функция отново е по-проста, тя е значително по-проста от първоначалната функция, но на практика обгръща графиката много по-плътно. Когато разглеждаме околността на точката, в която правим апроксимация, начинът, по който обгръща графиката може да е много различен. Ако си представим графично как изглежда квадратичната апроксимация, можем да кажем, че ако "срежем" тази повърхнина, тази призрачно бяла повърхнина във всяка посока, то ще получим някаква парабола. И обърни внимание, че тъй като работим с много измерения, поради което нещата са доста сложни, като например ето тук, то тогава, ако направим срез в тази посока, ако го разглеждаме от този ъгъл, това прилича на една изпъкнала парабола, но ако го разглеждаме от друг ъгъл, тогава изглежда като вдлъбната парабола. Но като цяло получаваме повърхнина, която наистина е много подобна на информацията, която се съдържа в нея. Както виждаш, тази повърхнина "обгръща" много плътно графиката, тази апроксимация ще бъде даже още по-близка, защото около точката, в която апроксимираме, можем да кажем, че можем да направим няколко стъпки и тогава апроксимацията пак ще бъде много близка до графиката. Само когато се отдалечим твърде много от оригиналната точка, в която апроксимираме, тогава се наблюдава отклонение на апроксимацията от оригиналната графика. Така че това е нещо полезно, въпреки че съдържа повече информация, за да опише функцията, отколкото локалната линеаризация, и ни дава много по-добра апроксимация. Една линейна функция, чиято графика е просто една такава равнина, по отношение на оригиналната функция тя е един вид линейна, тя е някаква функция от х и от у, и тук има някаква константа 'а', плюс някаква друга константа по променливата х, плюс друга константа по променливата у, това е така да се каже общият вид на линейните функции. Технически, това не е линейна зависимост, ако някой се вгледа педантично, а е по-точно да се каже, че това е афинно преобразувание, защото, строго погледнато, линейната функция не трябва да съдържа този константен член, а трябва да има само членове с х и с у. Но когато разглеждаме апроксимации, този член е прието да се нарича линеен. Квадратичният член – как изглежда той? Квадратичен член – ще имаме всички членове, като в този линеен израз, ще имаме константа, ще имаме два линейни члена bx и cy, а после можем да имаме всичко, което съдържа произведение на две променливи. Може да имаме d по х на квадрат, после може да имаме нещо по х по у, което също се приема за член на втора степен. Това първоначално ще ти се стори странно, защото обикновено свързваме термина "квадратно" с повдигане на втора степен, но всъщност "квадратно" означава просто, че имаме произведение на две променливи, после може да добавим някаква друга константа, например f по у на квадрат. Това съдържа произведението на у по у. Всички тези членове можем да кажем, че са квадратни членове Членове, които съдържат х на квадрат, у на квадрат или х по у, всички произведения на две променливи. Ще видиш, че това ни позволява да контролираме много по-добре, защото преди, когато променяхме константите а, b и с, можехме да получаваме най-различни равнини в пространството, а ако изберем най-подходящата, получаваме тази, която е допирателна към кривата в тази конкретна точка, като това зависи от местоположението на точката, тогава получаваме различни равнини, но те всички са допирателни. В следващите няколко видео урока ще разгледаме как можем да променяме тези шест различни константи, така че да получим функции, които наистина се приближават до графиката. Всички те ще са зависими от една оригинална точка, защото когато променяме тази точка, ще ни е нужно нещо различно, което да "обгръща" кривата. Това е свързано с частните производни на оригиналната функция, функцията, чиято графика разглеждаме, като процесът ще е много подобен на локалната линеаризация, само че е по-сложен, защото добавяме още няколко стъпки. Ще обсъдим това в следващото видео.