Въведение към теоремата на Гаус-Остроградски (теоремата за дивергенцията) в три измерения

Вече разглеждахме версията в две измерения на теоремата за дивергенцията. Ако имаме някаква област – нека това да е нашата област. Ще я означа с R. Ще означа контура на тази област като 'с'. Ако имам някакво векторно поле в тази област – ще начертая векторното поле ето така. Ако начертая векторното поле по този начин, двумерната версия на теоремата за дивергенцията, която изведохме от теоремата на Грийн, ни казва, че потокът през границата на тази област... ще запиша това. Потокът през границата – потокът е по същество векторното поле... Потокът е равен на скаларното произведение на нашето векторно поле F, с нормалния вектор, сочещ навън. Нормалният вектор във всяка точка е този вектор, сочещ навън. Значи скаларното произведение на векторното поле с нормалния вектор към нашата граница, по едно малко парченце от тази граница. Ако сумираме всички тези по цялата граница – ще запиша това малко по-прилежно – това е същото нещо като сумата за цялата област. Значи сумираме за цялата област. Сумираме за цялата област, като всяко малко парченце площ dA – можем да наречем това и dx, dy, ако сме в дефиниционното множество ху – всяко малко парченце площ по дивергенцията на F, което показва колко дърпа в различните посоки това векторно поле. Значи това по дивергенцията на F. Надявам се, че разбираш това. Начинът, по който начертах това векторно поле ето тук, показва, че всичко излиза навън. Почти можеш да наречеш това "източник", където изглежда, че векторното поле отива навън. Това тук има положителна дивергенция. И така, поради това, всъщност виждаме, че това векторно поле при границата всъщност е с посоката на нормалния вектор, посоката е много сходна с посоката на нормалния вектор, така че това е логично. Имаме положителна дивергенция, а това ще е положителна стойност. Векторното поле в по-голямата си част има посоката на нормалния вектор. Колкото по-голямо е това, толкова по-голямо е и това. (показва на екрана) Надявам се, че виждаш логиката. Ако имаме друго векторно поле – ще начертая друга област – което изглежда ето така, мога да начертая няколко случая. В единия случай имаме много ограничена дивергенция. Може тя е константа. Векторното поле не се променя, когато се движим в произволна посока. Тук отдясно имаме положителни потоци. Не знам множественото число на думата поток. Получаваме положителни потоци, защото векторното поле изглежда се движи в приблизително същата посока като нормалния вектор. Но тук отляво имаме отрицателен поток. Тук векторите са в тази посока. Ако си представим векторното поле като някаква масова плътност по обем, което сме разглеждали по-рано, това ни показва колко маса, колко вещество постъпва, а после колко напуска. Така че нетният поток ще е близко до нула. Частиците навлизат и напускат. Тук виждаме, че частиците непрекъснато напускат през тази повърхнина. Надявам се, че това ти дава представа, че тук имаме много ниска дивергенция, и ще имаме малък поток, общ сумарен поток, който преминава през тази граница. Тук имаме висока диверегнеция, и ще имаме висок сумарен поток. Мога да начертая и друг случай. Това е областта R. Да кажем, че имаме отрицателна дивергенция, или даже можем да я наречем конвергенция. Конвергенция не е истински математически термин, но вероятно се досещаш, че векторното поле се събира в областта R, т.е. в този случай дивергенцията е отрицателна. Тук имаме "вливане", което е дивергенция с обратна посока. Значи в този случай дивергенцията е отрицателна. Значи потокът през границата е отрицателен. Защото, както виждаме тук, начинът, по който го начертах, в по-голямата част от границата векторното поле е в обратна посока на нормалния вектор във всяка точка. Надявам се, че това ти даде представа защо има връзка между дивергенцията в областта и потока през границата ѝ. Сега просто ще разширим това за три измерения, като логиката е съвсем същата. Ако имаме – аз ще го дефинирам малко по-прецизно в бъдещи видеа – ако имаме проста тримерна област – просто ще я начертая. Ще се опитам да я начертая в три измерения. Да кажем, че изглежда приблизително така. Един начин да я разглеждаме е, че това е област, която не се огъва обратно в себе си. Ако имаме област, която се огъва обратно и съединява със себе си – можем да го разглеждаме по много начини. Но от всички тела в три измерения, които можеш да си представиш, има такива, които не се огъват обратно в себе си. Има и тела, които не можеш да си представиш, за които също не се отнася този случай. Но дори да имаш тела, които се огъват обратно в себе си, можеш да ги отделиш от тези, които не се огъват обратно в себе си. Така че тук имаме проста тримерна област. Ще я направя да изглежда тримерна. Ако е прозрачна, може би ще можеш да виждаш през нея. Това е предната стена. Тя е един вид елиптична, сферична, приличаща на някакъв балон. Това е задната стена. Ако дойдем ето тук отпред, може би изглежда ето така. Това е нашата проста тримерна област. Ще я означа отново с R, но сега работим в три измерения. Това е тримерна област. Сега границата на това вече не е крива. Сега областта е тримерна. Границата е повърхнина. Ще я означа като S – S е границата на R. Сега ще добавя едно векторно поле. Това е тримерно векторно поле. Да приемем, че това векторно поле има положителна дивергенция в тази област ето тук. Значи има положителна дивергенция. Представи си го като един вид... тази област е източник на векторното поле или векторното поле се разпространява навън. Това е като първия случай, който начертах ето тук горе. Другото, което искам да изтъкна за това векторно поле S е, че то е ориентирано така, че нормалният вектор сочи навън, значи нормалният вектор сочи навън. Нормалният вектор е ориентиран така, че повърхнината... нормалният вектор изглежда ето така. Другата възможност е нормалният вектор да сочи навътре. Но сега приемаме, че нормалният вектор n сочи навън. Сега просто ще екстраполираме това равенство за три измерения. Интересува ни потока през повърхнината. Потокът през повърхнината – намираме скаларното произведение на векторното поле и нормалния вектор към повърхнината, а след това умножаваме по малко парченце от повърхнината, така че умножаваме това по едно малко парче повърхнина, а после сумираме по цялата повърхнина – сумираме ги. Това е повърхностен интеграл. Значи това е поток през повърхнината. Той ще е равен на – ако трябваше да сумираме дивергенцията на F, ако сумираме за целия обем, сега ако сумираме за всяко малка част от обема в три измерения, ще получим интеграл по всяко измерение. Това ще е троен интеграл в областта на дивергенцията на F. Значи искаме да разберем колко е F, колко е дивергенцията на F във всяка точка, а след това умножаваме това по обема на малкото парченце, за да разберем колко е общата дивергенция в този обем. След това сумираме. Това е равно на потока. Съвсем аналогично е на това ето тук. Тук имаме поток през крива. Това е в две измерения, или предполагам, че можем да кажем едномерна граница, така че това е поток през крива. Тук имаме поток през повърхнина. Сумираме дивергенцията в тази област. Сумираме за този обем. Но логиката е съвсем същата. Ако имаме едно такова векторно поле, което е сравнително постоянно през повърхнината, от едната страна ще имаме отрицателен поток, от другата страна ще имаме положителен поток, и те приблизително ще се компенсират. Това е логично, защото тук няма сумарна дивергенция. Ако имаме входящо векторно поле, което навлиза навъртре, потокът ще е отрицателен, защото посоката му е обратна на посоката на нормалния вектор. Значи дивергенцията също ще е отрицателна, защото по същество векторното поле ще се схожда. Надявам се, че това ти помага да разбереш какъв е смисълът на теоремата за диверегенцията, което е много, много – бих казал напълно логично. В следващите няколко видеа ще решим някои примери, за да добиеш самочувствие за изчисляването и преработването на тези интеграли. После ще имаме няколко видеа с доказателства, където ще докажем самата теорема за дивергенцията.