Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 5

Урок 3: Теорема на Грийн (статии)

Теорема на Грийн

Теоремата на Грийн свързва двойния интеграл на ротацията и някакъв криволинеен интеграл. Това всъщност е нещо много красиво!

Преговор

Незадължителни теми, но необходими за по-добро разбиране:

Формална дефиниция на ротация в две измерения

Допълнителен материал

Примери за използването на теоремата на Грийн за решаване на задачи можеш да намериш в следната статия. В настоящата статия ще разгледаме доказателство на теоремата, което е много красиво. Различна гледка точка можеш да намериш в това видео на Сал по темата.

Един урок, четири ползи

Теоремата на Грийн е една от четирите основни теореми, които са кулминация на анализа на функции на много променливи:

Теорема на Грийн
Теорема за двумерната дивергенция
Теорема на Стокс
Теорема за тримерната дивергенция

Добрата новина е тази: тези четири теореми почиват на много сходна логика. Ако разбереш много добре теоремата на Грийн, ще си изминал/а по-голямата част от пътя за разбирането на останалите три!

Основни идеи

Условие:
- $F$ ‍ е двумерно векторно поле.
  - $R$ ‍ е област в равнината $x y$ ‍.
  - $C$ ‍ е контурът на тази област, който е ориентиран обратно на часовниковата стрелка.
Теоремата на Грийн гласи, че криволинейният интеграл $F$ ‍ по контура на областта $R$ ‍ е равен на двойния интеграл от ротацията на векторното поле $F$ ‍ в областта $R$ ‍:
$\iint_{R} 2d-rot F d A = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍
Лявата страна можеш да си представиш като сумиране на всички малки ротации в рамките на областта $R$ ‍, а дясната страна измерва общата ротация на флуида около контура $C$ ‍ на областта $R$ ‍.
Често $F$ ‍ се записва чрез компонентите си по следния начин:
$F (x; y) = P (x; y) \hat{i} + Q (x; y) \hat{j}$ ‍
Ето как изглежда теоремата на Грийн, изразена чрез $P$ ‍ и $Q$ ‍:

$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

Ротация на флуид около контур

Представи си някакво петно във векторно поле.

$F (x; y)$ ‍ е функцията на векторното поле. И както вероятно вече свикна от останалите статии, в които са намесени векторни полета, представи си, че $F$ ‍ представлява флуидният поток.
$R$ ‍ е област в равнината $x y$ ‍. В практиката в повечето задачи тази област ще е добре дефинирана, например като кръг или като граница между две графики, но сега ще разгледаме една произволна област с формата на петно.
$C$ ‍ е контурът на областта $R$ ‍, ориентиран обратно на часовниковата стрелка. Запомни тази ориентация, защото тя е важна при решаването на задачите. "Обратно на часовниковата стрелка". Запомни ли?

Проверка на концепцията: Как можем да тълкуваме следния криволинеен интеграл от гледна точка на флуидния поток?

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

(Запомни, че в един криволинеен интеграл във векторно поле членът

d r

представлява малка стъпка по протежение на кривата, като вектор, който в този случай винаги сочи по посока обратна на часовниковата стрелка.)

Избери един отговор:
(Избор А)
Ще бъде положителен, ако флуидът се върти обратно на часовниковата стрелка около границата на $R$ ‍, и отрицателен, ако общата ротация е по посока на часовниковата стрелка.
(Избор Б)
Ще бъде положителен, ако флуидът като цяло изтича навън от областта $R$ ‍, и отрицателен, ако флуидът се влива навътре към областта $R$ ‍.

Ето един начин да разглеждаме криволинейния интеграл

\oint_{C} F \cdot d r

: Представи си, че се возиш с лодка по контура

C

, като се движиш обратно на часовниковата стрелка.

Във всяка точка от твоето пътуване векторът

d r

показва посоката на движение. Скаларното произведение

F \cdot d r

е положително в точките, в които флуидният поток се движи в същата посока като теб, а е отрицателно, когато течението е срещу тебе.

По принцип криволинейният интеграл

\oint_{C} F \cdot d r

сумира всички тези скаларни произведения, за да ни покаже дали течението ти помага, или ти пречи.

Криволинейният интеграл е положителен, когато флуидният поток има обща посока обратна на часовниковата стрелка около границата

C

(което в случая означава, че като цяло помага на гребанетоl), и би бил отрицателен при посока по часовниковата стрелка (когато би затруднявал придвижването на лодката).

Преместване на границата във вътрешността

Теоремата на Грийн пренася идеята за ротация на флуида от границата на областта

R

във вътрешността на

R

. Това означава да раздробим областта

R

на голям брой малки парченца. Във формулите това означава да намерим двоен интеграл от

2d-rot F

Раздробяване на областта

Представи си, че разделяме областта

R

с една права точно през средата, при което получаваме две подобласти

R_{1}

R_{2}

Ще означим границите на тези две области с

C_{1}

C_{2}

. Какво се случва, ако вземем криволинейните интеграли върху

F

по тези две граници и после съберем интегралите?

$\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r$ ‍

Обърни внимание, че тези два криволинейни интеграла ще се компенсират по протежение на вертикалната линия, която сме спуснали. По-точно интегралът по контура

C_{1}

се движи "нагоре" по тази линия, докато интегралът по контура

C_{2}

интегрира "надолу" по тази линия. (Спомни си, че когато използваме криволинеен интеграл във векторно поле, промяната на посоката по контура означава да умножим получения резултат по

- 1

Това означава, че сумата от двата интеграла е равна на това, което се получава, когато интегрираме по първоначалния контур

C

$\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Отново срязваме

Можем да направим същото още веднъж, този път например с хоризонтална линия:

Ако интегрираме по границите на получените подобласти, интегралите отново ще се компенсират по протежение на срязването, което направихме във вътрешността на областта

R

Изразено чрез формули това означава, че сумата от криволинейните интеграли върху четирите подобласти дава резултат, който е равен на криволинейния интеграл върху цялата област:

$\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r + \oint_{C_{3}} F \cdot d r + \oint_{C_{4}} F \cdot d r = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Трябва да изтъкнем, че това е вярно само тогава, когато всички контури

C_{1}, \dots, C_{4}

са ориентирани по един и същ начин. В противен случай те не биха се компенсирали по срязващите линии. Обикновено посоката обратно на часовниковата стрелка се приема като положителна, така че можем да разглеждаме всичко като ориентирано обратно на часовниковата стрелка.

Срязваме многократно

Вероятно се досещаш каква е нашата цел. Представи си, че раздробяваме областта

R

на голям брой малки парченца

R_{1}, \dots, R_{n}

. Ориентираме всички контури

C_{1}, \dots, C_{n}

обратно на часовниковата стрелка и интегрираме функцията

F

върху всяко малко парченце от областта.

Интегралите ще се компенсират по протежение на срязванията вътре в самата област

R

. Това е така, понеже за всяко срязване единият интеграл ще се движи в едната посока, а другият в обратната посока. В крайна сметка всички части, където тези интеграли не се компенсират, са частите от първоначалната (външната граница)

C

Това означава, че събираме криволинейните интеграли по тези малки контури на малките парченца, което ще даде същия резултат като интегрирането върху цялата област:

$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Интегриране на ротацията

Защо правим това? Защото това е друг начин да тълкуваме всеки от тези криволинейни интеграли върху малко парченце с помощта на двумерна ротация. Избираме едно такова парченце и го разглеждаме под лупа.

Избираме парченцето $R_{k}$ ‍ с граница (контур) $C_{k}$ ‍.
$| R_{k} |$ ‍ е площта на парченцето $R_{k}$ ‍, която е някаква много малка стойност.
Точката $(x_{k}; y_{k})$ ‍ е произволна вътрешна точка за това малко парченце.

Ротацията на флуида в това парченце в резултат на

F

може да се определи с криволинейният интеграл

\oint_{C_{k}} F \cdot d r

. Представи си една малка лодка с гребла. Понеже това е едно наистина много малко парченце, тук се появява още едно понятие от анализа на функции на много променливи, с което измерваме ротацията на флуида и бележим с rot.

Криволинейният интеграл може да се апроксимира, като намерим

2d-rot

от

F

във всяка точка в областта

R_{k}

, и го умножим по (малката) площ

| R_{k} |

$\underset{\begin{matrix} Интеграл върху \\ малко парченце R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx (2d-rot F \underset{Точка в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}}) \underset{Площ на R_{k}}{\underset{⏟}{| R_{k} |}}$ ‍

И нещо много важно, колкото по-малко е парченцето

R_{k}

, толкова по-точна е апроксимацията.

Ако прочете статията за формалната дефиниция на ротацията в две измерения, тази апроксимация вероятно ти изглежда познато. Всъщност тя е много близка със самата дефиниция на ротацията, където си представяме, че свиваме областта около точка:

$2d-rot F (x; y) = lim_{| R_{(x; y)} | \to 0} (\frac{1}{| R_{(x; y)} |} \oint_{C_{(x; y)}} F \cdot d r)$ ‍

Тук използваме

R_{(x; y)}

, за да представим произволна област, съдържаща точката

(x; y)

Значението на границата, когато

| R_{(x; y)} | \to 0

е това, че колкото по-малка е площта на областта, толкова по-точна е следната апроксимация:

$2d-rot F (x; y) \approx \frac{1}{| R_{(x; y)} |} \oint_{C_{(x; y)}} F \cdot d r$ ‍

Ето това ни казва горната апроксимация, с тази разлика, че вместо да започнем с точка

(x; y)

и разглеждаме областта

R_{(x; y)}

около тази точка, започнахме с малка област

R_{k}

и разгледахме някаква точка

(x_{k}; y_{k})

вътре в тази област:

$(2d-rot F \underset{Точка в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}}) \approx \frac{1}{| R_{k} |} \underset{\begin{matrix} Интеграл върху \\ малка област R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}}$ ‍

Сега просто умножаваме двете страни по

| R_{k} |

и получаваме апроксимацията, която първоначално предположихме:

$\underset{\begin{matrix} Интеграл върху \\ малко парченце R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx (2d-rot F \underset{Точка в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}}) \underset{Площ на R_{k}}{\underset{⏟}{| R_{k} |}}$ ‍

Освен това, ако наистина искаме да вникнем в техническите подробности тук, можем да направим следното наблюдение: започнахме с конкретна апроксимация, чиято грешка клони към нула с намаляването на размера на парченцето. Понеже окончателната апроксимация получихме, като умножихме двете страни по площта на

| R_{k} |

, грешката не само че клони към нула, но и остава значително по-малка от

| R_{k} |

, което също намалява. Няма проблем ако не обърнеш внимание на това, но то е важно за следващите стъпки.

Като съберем тези апроксимации от всички малки парченца

R_{k}

, получаваме следното:

$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) \approx \sum_{k = 1}^{n} (2d-rot F \underset{Точки в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}} | R_{k} |)$ ‍

Като използваме резултата, получен в предходната точка, лявата страна отгоре е равна на криволинейния интеграл по целия контур на областта

R

, така че можем да преработим апроксимацията по следния начин:

$\oint_{C} F \cdot d r \approx \sum_{k = 1}^{n} (2d-rot F \underset{Точки в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}} | R_{k} |)$ ‍

Сега да разгледаме внимателно сумата отдясно.

Тя включва скаларната функция $2d-rot F$ ‍
Сумата върху голям брой малки парченца $R_{k}$ ‍ на двумерната област $R$ ‍.
За всяко парченце в границите, в които сумираме, функцията се изчислява във вътрешна точка на това парченце, а после се умножава по площта.

Звучи ли ти познато? Това е същото като двоен интеграл! (Ако не ти е познато, виж тази статия за двойните интеграли).

Ако си представиш, че раздробим областта

R

на все по-малки и по-малки парчета, можеш да замениш горната сума с двоен интеграл от

2d-rot F

върху областта

R

$\sum_{k = 1}^{n} (2d-rot F \underset{Точки в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}} | R_{k} |) \to \iint_{R} 2d-rot F d A$ ‍

Като обединим всичко това, получаваме следното:

$\begin{aligned} \oint_{C} F \cdot d r & = \sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) \\ \approx \sum_{k = 1}^{n} (2d-rot F \underset{Точки в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}} | R_{k} |) \\ \to \iint_{R} 2d-rot F d A \end{aligned}$ ‍

Това не е просто апроксимация – криволинейният интеграл по контура е равен на двойния интеграл от двумерната ротация:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} 2d-rot F d A$ ‍

Трябва да кажа още няколко неща, ако те интересува техниката на работа. Спомняш ли си стъпката, в която събираме всички отделни апроксимации от криволинейни интеграли към ротация? Ето откъде получихме тази апроксимация:

$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) \approx \sum_{k = 1}^{n} (2d-rot F \underset{Точки в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}} | R_{k} |)$ ‍

Доколкото ни е известно, без по-нататъшно изследване, грешките на всяка такава апроксимация се сумират и дават значителна стойност. Това може да означава, че когато раздробяваме областта

R

на все по-малки парченца, сумата става все по-голяма, тогава натрупването на грешките става много съществено, въпреки че за всяко отделно парченце грешката клони към

0

За щастие това не се случва. Ако прочете до края малката техническа бележка по-горе, за обяснението на оригиналната апроксимация с помощта на формалната дефиниция на ротацията, дали си спомняш какво казах накрая? Грешката на тази апроксимация е значително по-малка от площта на

R_{k}

. Понеже сумата от площите на всички малки парченца

R_{k}

е равна на площта на цялата област

R

, която е константа, това означава, че сумата от членовете, съответстващи на грешката, ще бъде значително по-малка от константа. Значи това означава, че те ще са значително по-малки.

Това означава, че цялата апроксимация наистина клони към равенство, когато преминем към използването на двоен интеграл, така че можем да запишем следното равенство:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} 2d-rot F d A$ ‍

Този удивителен факт се нарича Теорема на Грийн. Може да се прочете по следния начин: ротацията на флуида около целия контур на една област (лявата страна) е равна на това да намерим всички "малки ротации" в малките парченца в областта и да ги съберем (дясната страна).

Друг начин за записване

Много често може да срещнеш теоремата на Грийн записана по следния начин:

$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

Това е просто записване на скаларното произведение в криволинейния интеграл от лявата страна, както и на ротацията в двойния интеграл отдясно. По някаква причина много често се използват буквите

P

Q

за означаване на компонентите на векторната функция

F (x; y)

$F (x; y) = P (x; y) \hat{i} + Q (x; y) \hat{j} = [\begin{matrix} P (x; y) \\ Q (x; y) \end{matrix}]$ ‍

В криволинейния интеграл $\oint_{C} F \cdot d r$ ‍ диференциалният член $d r$ ‍ е вектор, който представлява малка стъпка по контура $C$ ‍. Можем да го представим като $x$ ‍-компонента на тази малка стъпка – $d x$ ‍, и $y$ ‍-компонента на тази стъпка – $d y$ ‍:
$d r = [\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]$ ‍
Това означава, че скаларното произведение вътре в интеграла може да се представи като:
$\oint_{C} F \cdot d r = \oint_{C} [\begin{matrix} P \\ Q \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}] = \oint_{C} P d x + Q d y$ ‍
Формулата за $2d-rot F$ ‍ е както следва:
$2d-rot ([\begin{matrix} P (x; y) \\ Q (x; y) \end{matrix}]) = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ ‍
Един лесен начин да се запомни това е чрез следната детерминанта:
$det ([\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P (x; y) & Q (x; y) \end{array}])$ ‍
Ако искаш да вникнеш по-добре в това защо тази формула е свързана с ротацията на флуида, виж тази статия за двумерната ротация.

В следващата статия ще видиш как се използва тази формула за опростяване на криволинейни или на двойни интеграли.

Обобщение

Можем да разглеждаме криволинейния интеграл $\oint_{C} F \cdot d r$ ‍ като мярка за ротацията на флуида, представена чрез векторното поле $F (x; y)$ ‍ около контура $C$ ‍. Ротацията обратно на часовниковата стрелка е прието да се счита за положителна, затова $C$ ‍ трябва да има ориентация обратно на часовниковата стрелка.

Представи си, че раздробяваме на голям брой малки парченца двумерна област $R$ ‍, ограничена от контура $C$ ‍. Означаваме границите на тези парченца като $C_{1}, \dots, C_{n}$ ‍, и избираме за всички тях ориентация обратно на часовниковата стрелка. След това събираме криволинейните интеграли $F$ ‍ по контурите на тези парченца $C_{k}$ ‍, което ни дава резултат, равен на криволинейния интеграл по целия контур $C$ ‍.
$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍
Това означава, че "малките" криволинейни интеграли се компенсират по протежение на срязванията вътре в областта $R$ ‍
Колкото по-малки стават тези парченца, криволинейният интеграл по контура на всяко малко парченце може да се апроксимира с помощта на двумерната ротация:

$\underset{\begin{matrix} Интеграл върху \\ малко парченце R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx (2d-rot F \underset{Точка в R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}; y_{k})}}) \underset{Площ на R_{k}}{\underset{⏟}{| R_{k} |}}$ ‍

Събираме всички тези "фрагменти от ротацията" чрез двоен интеграл върху областта $R$ ‍ и използваме факта, че сумата на криволинейните интеграли се компенсира по вътрешните части на контурите, и така получаваме теоремата на Грийн:
$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} 2d-rot F d A$ ‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.